Question

如圖，為測(cè)量小河的寬度，先在河岸邊任意取一點(diǎn)A，再在河的另一岸取兩點(diǎn)B、C，測(cè)得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC長(zhǎng)為20米．
（1）求小河的寬度（使用計(jì)算器的地區(qū)，結(jié)果保留三位有效數(shù)字；不使用計(jì)算器的地區(qū)，結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）請(qǐng)?jiān)僭O(shè)計(jì)一種測(cè)量河寬度的方案，畫出設(shè)計(jì)草圖并作簡(jiǎn)要說明．

Answer 1

分析：（1）做AD⊥BC與D，設(shè)公共直角邊為未知數(shù)，利用特殊的角的三角函數(shù)表示出組成BC的各邊，相加等于BC的長(zhǎng)度即可求得小河的寬度；
（2）取一點(diǎn)A，AB⊥BC，量取∠ACB=30°，再測(cè)量BC的長(zhǎng)，則有AB=BC•tan30°．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．
在Rt△ABD中，∵∠ABC=45°，
∴BD=AD，
∵BC=20，
∴CD=BC-BD=20-AD，
在Rt△ACD中，∠ACD=30°，tan∠ACD=

AD

CD

，
∴AD=CDtan∠ACD，
即AD=

3

3

（20-AD），
∴AD=10（

3

-1）≈7.32（米）．
答：小河的寬度約為7.32米；

（2）先取點(diǎn)A，測(cè)量得∠ABC=90°處取點(diǎn)B，然后取∠ACB=30°，量出BC的長(zhǎng)度即可．

點(diǎn)評(píng)：解此題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象到直角三角形中，利用公共邊及特殊的三角函數(shù)求解．