Question

如圖1，為了測(cè)量小河的寬度，在河岸邊任意取點(diǎn)A，再在河的另一邊取點(diǎn)B、C，測(cè)得∠ABC=30°，∠ACD=60°，量得BC的長(zhǎng)為12m．
（1）求小河的寬度；
（2）請(qǐng)?jiān)僭O(shè)計(jì)一種測(cè)量河寬的方案（測(cè)量工具不限），在圖2中畫出設(shè)計(jì)草圖，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．
∵∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=60°-30°=30°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴AC=BC=12m．
在Rt△ABD中，∵∠ACD=60°，AC=BC=12m，
∴AD=AC•sin∠ACD=12×=6．
答：小河的寬度為6米；

（2）先在河岸邊任意取點(diǎn)A，測(cè)量得∠ABC=90°處取點(diǎn)B，然后取∠ACB=30°，量出BC的長(zhǎng)度即可．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC與D，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°=∠ABC，再由等角對(duì)等邊得出AC=BC=12m，然后解Rt△ABD，即可求出AD的長(zhǎng)度即小河的寬度；
（2）在河岸邊任意取點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A向河的另一邊作AB⊥BC于B，再作∠ACB=30°，然后測(cè)量BC的長(zhǎng)，則有AB=BC•tan30°，設(shè)計(jì)方案不唯一．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題抽象到直角三角形中，利用公共邊及特殊三角函數(shù)值求解．