如圖,Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(0,4),拋物線經(jīng)過B點(diǎn),且頂點(diǎn)在直線上.
1.求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
2.若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí),試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上,并說明理由
3.在(2)的條件下,連結(jié)BD,已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得△PBD的周長最小.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
4.在(2)、(3)的條件下,若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、B不重合),過點(diǎn)M作MN∥BD交x軸于點(diǎn)N,連結(jié)PM、PN,設(shè)OM的長為t,△PMN的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
1.∵拋物線經(jīng)過B(0,4),∴,------1分
∵頂點(diǎn)在直線上,∴,,
∴所求函數(shù)關(guān)系式為: --------------------------------------2分
2.在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴,
∵四邊形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5,4)、(2,0).---------------------------------3分
當(dāng)時(shí),,-----------------------------------------4分
當(dāng)時(shí),,
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線上.--------------------------------------------------5分
3.設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P,則P為所求的點(diǎn),--------------------------6分
設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為,
則,解得:,
∴,---------------------7分
當(dāng)時(shí),,∴P(,),-------------------8分
4.∵M(jìn)N∥BD,∴△OMN∽△OBD,
∴,,,---------------9分
設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)F,則,
∵,,
∴(-------------10分
由,
∴當(dāng)時(shí),S取得最大值為,-----------------11分
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,).
解析:此題考核二次函數(shù)的綜合應(yīng)用
(1) 通過B(0,4),頂點(diǎn)在直線上,求出函數(shù)關(guān)系式
(2) 通過勾股定理和菱形性質(zhì)求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo),代入函數(shù)關(guān)系式求證
(3) 通過C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo), 求出直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)
通過△OMN∽△OBD,求得,再通過面積求得S與t的函數(shù)關(guān)系式,從而求得最大值和M點(diǎn)的坐標(biāo)
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