Question

已知，如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，直角頂點A在y軸的正半軸上，A（0，2），B（-1，0）．
（1）求點C的坐標；
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸；
（3）設點P（m，n）是拋物線在第一象限部分上的點，△PAC的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求使S最大時點P的坐標；
（4）在拋物線對稱軸上，是否存在這樣的點M，使得△MPC（P為上述（3）問中使S最大時的點）為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）Rt△ABC中，AO⊥BC，且知道了OA、OB的長，由射影定理能求出OC的長，也就得到了點C的坐標．
（2）利用待定系數法即可確定拋物線的解析式，由x=-能求出拋物線的對稱軸．
（3）首先求出直線AC的解析式，過點P作x軸的垂線，交直線AC于Q，在知道拋物線和直線AC解析式的情況下，用m表示出點P、Q的坐標，兩點縱坐標差的絕對值即為線段PQ的長，而S=AC•PQ，據此求得關于S、m的函數關系式，根據函數的性質即可確定S最大時點P的坐標．
（4）首先設出點M的坐標，然后列出△MPC的三邊長，若該三角形是等腰三角形，根據①MP=MC、②MP=PC、③MC=PC列出等式求解即可．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，
則：OC==4，
∴C（4，0）．

（2）設拋物線的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入點A的坐標，得：
a（0+1）（0-4）=2，a=-
∴拋物線的解析式：y=-（x+1）（x-4）=-x²+x+2，對稱軸 x=．

（3）設直線AC的解析式為：y=kx+2，代入點C（4，0），得：
4k+2=0，k=-
∴直線AC：y=-x+2；
過點P作PQ⊥x軸于H，交直線AC于Q，設P（m，-m²+m+2）、
∴S_梯形AOHP=[2+（-m²+m+2）]m=-m³+m²+2m，
S_△PHC=（4-m）（-m²+m+2）=m³-m²+2m+4，
S_△AOC=×4×2=4，
S=S_梯形AOHP+S_△PHC-S_△AOC=-m²+4m=-（m-2）²+4，
∴當m=2，即 P（2，3）時，S的值最大．

（4）依題意，設M（，b），已知P（2，3）、C（4，0），則有：
MP²=b²-6b+、MC²=b²+、PC²=13；
當MP=MC時，b²-6b+=b²+，解得 b=；
當MP=PC時，b²-6b+=13，解得 b=；
當MC=PC時，b²+=13，解得 b=±；
綜上，存在符合條件的M點，且坐標為 （，）、（，）、（，）、（，）、（，-）．
點評：題目主要考查了利用待定系數法確定函數解析式、三角形面積的求法以及等腰三角形的判定和性質．類似（4）題：在等腰三角形的腰和底不確定的情況下，一定要進行分類討論．