Question

 如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，

   ，，把繞著點順時針旋轉得到，（點旋轉到點的位置），拋物線經過,兩點，與軸的另一個交點為點，頂點為點，對稱軸為直線,

  （1）求該拋物線的解析式；

  （2）聯結,求四邊形的面積；

  （3）在拋物線上是否存在一點,使得的面積等于四邊形的

面積，如果存在，求出點的坐標，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）由題意得：B(0,2),C(2,0),對稱軸x=3     

設拋物線的解析式為y=a(x-3)²+k

∵拋物線拋物線經過B(0,2),C(2,0),

∴   2=9a+k

     0=a+k                         

解這個方程組得：                   

∴a=,k= -

∴y= (x-3)²-  

 ∴拋物線的解析式為y=x²-   

（2）設對稱軸與x軸的交點為N

由圖可知：CD=2

    S_△BCD=CDOB=×2×2=2

    S_△pCD=  CDPN= CD︱P_y︱=×2×=

 

∴S_{四邊形PCBD}= S_△BCD+ S_△pCD=2                     

 (3)假設存在一點M,使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積

即：S_△MCD= S_{四邊形PCBD}

CD︱M_y︱=×

    ︱M_y︱=                                

                                   

又∵點M在拋物線上，

∴︱x²-︱=

∴x²-=±

∴x²-6x+8=±3

∴x²-6x+5=0   或∴x²-6x+11=0

由x²-6x+5=0，得x₁=5,x₂=1

由x²-6x+11=0

∵ b²-4ac=36-44=-8<0

∴此方程無實根。                           

當x₁=5時，y₁=；當x₂=1時，y₂=

∴存在一點M(5, ),或（1，）使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積