Question

7．閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M（a，b）為圓心，半徑為r作圓，點(diǎn)P（x，y）在⊙M上，則必有（x-a）²+（y-b）²=r²．
嘗試證明：為了證明閱讀材料上的結(jié)論，小明作了輔助線：過點(diǎn)M和點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)N可得點(diǎn)N的坐標(biāo)是（x，b）（用字母表示），完成小明的證明過程．
結(jié)論應(yīng)用：如圖2，點(diǎn)A、B、C均在坐標(biāo)軸上，OB=OC=OA=4，過A、O、B作⊙D，E是⊙D上任意一點(diǎn)，連接CE，BE．
（1）當(dāng)線段CE經(jīng)過點(diǎn)D時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，線段CE和線段BE的長度隨之變化，試求CE²+BE²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 嘗試證明：直接點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論；
結(jié)論應(yīng)用：（1）先確定出⊙D的解析式，再確定出直線CE解析式，聯(lián)立方程組即可得出點(diǎn)E坐標(biāo)；
（2）設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)而表示出CE²+BE²，再根據(jù)極值確定出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可求出最大值和最小值．

解答 解：嘗試證明：∵M(jìn)N∥x軸，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)和點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相同，是b，
∵PN∥y軸，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同，是x，
∴N（x，b）；
故答案為（x，b）．
結(jié)論應(yīng)用：（1）如圖，

∵點(diǎn)A、B、C均在坐標(biāo)軸上，OB=OC=OA=4，
∴A（0，4），B（4，0），C（-4，0）；
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∵過A、O、B作⊙D，
∴D（2，2），
∴（x-2）²+（y-2）²=8①．
∵線段CE經(jīng)過點(diǎn)D（2，2），C（-4，0），
∴直線CE解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$②，
聯(lián)立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{6\sqrt{5}}{5}}\\{y=2+\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{6\sqrt{5}}{5}}\\{y=2-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$（由于線段CE過點(diǎn)D，所以舍去），
∴E（2+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）；
（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，n）
，∵點(diǎn)E在⊙D上，
∴（m-2）²+（n-2）²=8，
∴m²+n²=4（m+n）③，
∵B（4，0），C（-4，0），
∴CE²+BE²=（m+4）²+n²+（m-4）²+n²=2（m²+n²）+32
∴m²+n²是表示⊙D上的任意一個點(diǎn)E到原點(diǎn)的距離，
∴當(dāng)點(diǎn)E（0，0）時，CE²+BE²最小值為32，
當(dāng)點(diǎn)E是射線OD和⊙D的交點(diǎn)時，
∵D（2，2），∴直線OD解析式為y=x，
∴m=n，將m=n代入③得，m=n=4，
∴CE²+BE²最大值為96．

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，待定系數(shù)法，平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式，解方程組，極值確定，求出點(diǎn)E坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵，確定出CE²+BE²的極值是解本題的難點(diǎn)．