Question

如圖：在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF分別與AD、BC交于點(diǎn)E、F，EF⊥AC，連結(jié)AF、CE．
（1）求證：OE=OF；
（2）請(qǐng)判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形，請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）若∠EAF=60°，AE=6，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，易證得△OAE≌△OCF，即可得AE=CF，繼而證得四邊形AECF是平行四邊形，則可得OE=OF；
（2）由四邊形AECF是平行四邊形與EF⊥AC，即可證得四邊形AECF是菱形；
（3）由∠EAF=60°，AE=6，根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求得AC與EF的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
在△OAE和△OFC中，

∠OAE=∠OCF ∠OEA=∠OFC OA=OC

，
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴OE=OF；

（2）四邊形AECF是菱形．
證明：∵四邊形AECF是平行四邊形，EF⊥AC，
∴?AECF是菱形．

（3）解：∵四邊形AECF是菱形，∠EAF=60°，
∴∠EAO=

1

2

∠EAF=30°，
∴OE=

1

2

AE=

1

2

×6=3，
∴OA=

AE2-OE2

=3

3

，
∴AC=2OA=6

3

，EF=2OE=6，
∴S_{四邊形AECF}=

1

2

AC•EF=

1

2

×6×6

3

=18

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．