Question

（2012•衢州二模）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE=

1

4

BC=1．
（1）求證：CE=CF；
（2）若G在AD上，連接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，求GC的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出BC=CD，∠BCD=∠B=∠ADC=∠CDF=90°，根據(jù)SAS證△EBC≌△FDC即可；
（2）求出∠BCE=∠DCF，求出∠BCE+∠DCG=45°，代入求出即可；
（3）連接EG，根據(jù)SAS證△ECG≌△FCG，推出EG=GF，設AG=x，求出EG=GF=5-x，在△AEG中根據(jù)勾股定理得出方程，求出AG，求出DG，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠B=∠ADC=∠CDF=90°，
在△EBC和△FDC中
∵

BE=DF ∠B=∠CDF BC=CD

，
∴△EBC≌△FDC（SAS），
∴CE=CF．

（2）解：∵△EBC≌△FDC，
∴∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=90°-45°=45°，
∴∠GCD+∠DCF=45°，
∴∠GCF=45°．

（3）解：連接EG，
∠ECG=∠GCF=45°，
在△ECG和△FCG中
∵

EC=CF ∠ECG=∠FCG CG=CG

，
∴△ECG≌△FCG，
∴EG=GF，
∵DF=BE=

1

4

BC=1，
∴BC=CD=AD=AB=4，
設AG=x，則DG=4-x，GF=4-x+1=5-x=EG，AE=4-1=3，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：3²+x²=（5-x）²，
解得：x=1.6，
DG=4-1.6=2.4，
在Rt△GCD中，由勾股定理得：GC=

42+2.42

=

4 34

5

．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，用了方程思想，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目比較好，有一定的難度．