Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足f（-1）=0且x≤f(x)≤

x2+1

2

對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題,代數(shù)綜合題

分析：在給出的不等式中，首先令x=

x2+1

2

，根據(jù)這個條件可求出一個f（x）的函數(shù)值，聯(lián)立f（-1）=0，即可求出a+c與b的關(guān)系式；由給出的不等式，還可以得到的條件是：對于一切實(shí)數(shù)x，f（x）-x≥0恒成立，即：ax²+（b-1）x+c≥0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，觀察這個不等式，只有當(dāng)a＞0，且△=（b-1）²-4ac≤0時，才滿足上述條件，然后結(jié)合均值不等式求出a、c的值；由此得解．

解答：解：當(dāng)x=

x2+1

2

，即x=1時，1≤f（1）≤1，
則f（1）=1；
聯(lián)立f（-1）=0，有：

a+b+c=1 a-b+c=0

，
解得：a+c=b=

1

2

；
∵對于一切實(shí)數(shù)x，f（x）-x≥0恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0（a≠0），對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，
∴

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

，即

a＞0 ac≥ 1 16

∵a+c=

1

2

，且a+c≥2

ac

=2×

1 16

=

1

2

∴當(dāng)且只有當(dāng)a=c=

1

4

時，不等式成立；
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．

點(diǎn)評：此題考查的是二次函數(shù)解析式的求法，題中還涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式的聯(lián)系以及均值不等式的應(yīng)用，難度較大；解題的關(guān)鍵是從不等式中找出f（x）的一個定值以及抓住不等式恒成立的條件．