Question

【題目】如圖1，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且AD=8，AB=6．如圖2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，同時點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)也以每秒1個單位長度的速度沿矩形ABCD的邊AB經(jīng)過點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，矩形ABCD和點(diǎn)P同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．

（1）當(dāng)t=5時，請直接寫出點(diǎn)D，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動時，求出△PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍；
（3）點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動時，作PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，當(dāng)△PEO與△BCD相似時，求出相應(yīng)的t值．

Answer 1

【答案】
（1）解：延長CD交x軸于M，延長BA交x軸于N，如圖1所示：

則CM⊥x軸，BN⊥x軸，AD∥x軸，BN∥DM，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，

∴BD= =10，

當(dāng)t=5時，OD=5，

∴BO=15，

∵AD∥NO，

∴△ABD∽△NBO，

∴ ，

即 ，

∴BN=9，NO=12，

∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，

∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）

（2）解：如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時，BP=6﹣t，

∴S= BPAD= （6﹣t）×8=﹣4t+24；

②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時，BP=t﹣6，

∴S= BPAB= （t﹣6）×6=3t﹣18；

綜上所述：S=

（3）解：設(shè)點(diǎn)D（﹣ t， t）；

①當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時，P（﹣ t﹣8， t），

若 時， ，

解得：t=6；

若 時， ，

解得：t=20（不合題意，舍去）；

②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時，P（﹣14+ t， t+6），

若 時， ，

解得：t=6；

若 時， ，

解得：t （不合題意，舍去）；

綜上所述：當(dāng)t=6時，△PEO與△BCD相似．

【解析】（1） 運(yùn)用三角形相似對應(yīng)邊成比例可解決；（2）分兩種情況：點(diǎn)P在邊AB上或點(diǎn)P在邊BC上討論；（3）分兩種情況討論：點(diǎn)P在邊AB上或點(diǎn)P在邊BC上，由三角形相似性質(zhì)得出對應(yīng)邊乘比例構(gòu)建關(guān)于t 的方程，解方程即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解坐標(biāo)與圖形變化-平移(新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這兩個點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)；連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．