Question

如圖所示，已知一次函數(shù)y=kx+m（k，m為常數(shù)）的圖象經過點A（0，6），B（3，0），二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經過點A和點C，點C是二次函數(shù)圖象上的最低點，并且滿足AC=2BC
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）判斷關于x的方程ax²+bx+c=kx+m是否有實數(shù)根，如有，求出它的實數(shù)根；如沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A（0，6），B（3，0）兩點坐標代入y=kx+m中，列方程組求k、m的值即可；
（2）過點C作CD⊥x軸于D，則CD∥AO，可證△BCD∽△BAO，由相似的性質及AC=2BC，可求CD，代入直線AB的解析式可求OD，確定頂點C的坐標，設拋物線頂點式，將A點坐標代入，可求拋物線解析式；
（3）方程ax²+bx+c=kx+m可看作求拋物線y=ax²+bx+c與直線y=kx+m的交點橫坐標值，觀察圖象可知，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即A、B兩點的橫坐標值．

解答：解：（1）依題意得：

6=m 0=3k+m

，
解得：

k=-2 m=6

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+6；

（2）過點C作CD⊥x軸于D，則CD∥AO，
∴△BCD∽△BAO，∴

CD

AO

=

BC

BA

，
∵AC=2BC∴

BC

BA

=

1

3

，∴CD=

1

3

AO=2，
當y=2時，-2x+6=2，解得x=2∴C（2，2），
由頂點C（2，2）設二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+2，
把A（0，6）代入上式，解得a=1
∴二次函數(shù)的解析式為y=（x-2）²+2；

（3）關于x的方程ax²+bx+c=kx+m有實數(shù)根．
理由：∵一次函數(shù)y=kx+m（k，m為常數(shù)）的圖象與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交于點A、點C，
∴關于x的方程ax²+bx+c=kx+m的實數(shù)根為x₁=0，x₂=2．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．