對于給定的拋物線y=x2+ax+b,使實數(shù)p、q適合于ap=2(b+q)
(1)證明:拋物線y=x2+px+q通過定點;
(2)證明:下列兩個二次方程,x2+ax+b=0與x2+px+q=0中至少有一個方程有實數(shù)解.
分析:(1)由已知求得q=
ap
2
-b,代入拋物線y=x2+px+q,得y=x2+px+
ap
2
-b,將拋物線y=x2+ax+b的頂點橫坐標x=-
a
2
代入可求y的值,確定結果為頂點縱坐標即可;
(2)方程x2+ax+b=0與x2+px+q=0的判別式分別為a2-4b,p2-4q,由2q=ap-2b可得出兩個判別式的和為非負數(shù),可知其中至少有一個判別式為非負數(shù),故至少有一個方程有實數(shù)解.
解答:證明:(1)由ap=2(b+q),得q=
ap
2
-b,代入拋物線y=x2+px+q,
得:-y+x2-b+p(x+
a
2
)=0,
x+
a
2
=0
-y+x2-b=0
,
解得:
x=-
a
2
y=
a2-4b
4
,
故拋物線y=x2+px+q通過定點(-
a
2
,
a2-4b
4
).

(2)由2q=ap-2b得p2-4q=p2-2•2q=p2-2(ap-2b)=(p-a)2-(a2-4b),
∴(p2-4q)+(a2-4b)=(p-a)2≥0,
∴p2-4q,a2-4b中至少有一個非負,
∴x2+ax+b=0與x2+px+q=0中至少有一個方程有實數(shù)解.
點評:本題考查了拋物線上的點及頂點的坐標特點,判別式判斷一元二次方程解的運用,明確兩個數(shù)的和為非負數(shù)時,其中至少有一個數(shù)為非負數(shù).
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•武漢)如圖,點P是直線l:y=-2x-2上的點,過點P的另一條直線m交拋物線y=x2于A、B兩點.
(1)若直線m的解析式為y=-
1
2
x+
3
2
,求A,B兩點的坐標;
(2)①若點P的坐標為(-2,t).當PA=AB時,請直接寫出點A的坐標;
②試證明:對于直線l上任意給定的一點P,在拋物線上能找到點A,使得PA=AB成立.
(3)設直線l交y軸于點C,若△AOB的外心在邊AB上,且∠BPC=∠OCP,求點P的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,點P是直線l:y=-2x-2上的點,過點P的另一條直線m交拋物線y=x2于A、B兩點.
(1)若直線m的解析式為y=-數(shù)學公式x+數(shù)學公式,求A,B兩點的坐標;
(2)①若點P的坐標為(-2,t).當PA=AB時,請直接寫出點A的坐標;
②試證明:對于直線l上任意給定的一點P,在拋物線上能找到點A,使得PA=AB成立.
(3)設直線l交y軸于點C,若△AOB的外心在邊AB上,且∠BPC=∠OCP,求點P的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

對于給定的拋物線y=x2+ax+b,使實數(shù)p、q適合于ap=2(b+q)
(1)證明:拋物線y=x2+px+q通過定點;
(2)證明:下列兩個二次方程,x2+ax+b=0與x2+px+q=0中至少有一個方程有實數(shù)解.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

對于給定的拋物線y=x2+ax+b,使實數(shù)p、q適合于ap=2(b+q)
(1)證明:拋物線y=x2+px+q通過定點;
(2)證明:下列兩個二次方程,x2+ax+b=0與x2+px+q=0中至少有一個方程有實數(shù)解.

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