解:(1)∵點A、B是拋物線y=x
2與直線y=-
x+
的交點,
∴x
2=-
x+
,
解得x=1或x=-
.
當x=1時,y=1;當x=-
時,y=
,
∴A(-
,
),B(1,1).
(2)①∵點P(-2,t)在直線y=-2x-2上,∴t=2,∴P(-2,2).
設(shè)A(m,m
2),如答圖1所示,分別過點P、A、B作x軸的垂線,垂足分別為點G、E、F.
∵PA=AB,
∴AE是梯形PGFB的中位線,
∴GE=EF,AE=
(PG+BF).
∵GE=EF=OE+OF,∴OF=GE-OE=2+2m.
∵AE=
(PG+BF),∴BF=2AE-PG=2m
2-2.
∴B(2+2m,2m
2-2).
∵點B在拋物線y=x
2上,
∴2m
2-2=(2+2m)
2解得:m=-1或-3,
當m=-1時,m
2=1;當m=-3時,m
2=9
∴點A的坐標為(-1,1)或(-3,9).
②設(shè)P(a,-2a-2),A(m,m
2).
如答圖1所示,分別過點P、A、B作x軸的垂線,垂足分別為點G、E、F.
與①同理可求得:B(2m-a,2m
2+2a+2).
∵點B在拋物線y=x
2上,
∴2m
2+2a+2=(2m-a)
2整理得:2m
2-4am+a
2-2a-2=0.
△=16a
2-8(a
2-2a-2)=8a
2+16a+16=8(a+1)
2+8>0,
∴無論a為何值時,關(guān)于m的方程總有兩個不相等的實數(shù)根.即對于任意給定的點P,拋物線上總能找到兩個滿足條件的點A,使得PA=AB成立.
(3)∵△AOB的外心在邊AB上,∴AB為△AOB外接圓的直徑,∴∠AOB=90°.
設(shè)A(m,m
2),B(n,n
2),
如答圖2所示,過點A、B分別作x軸的垂線,垂足為E、F,則易證△AEO∽△OFB.
∴
,即
,整理得:mn(mn+1)=0,
∵mn≠0,∴mn+1=0,即mn=-1.
設(shè)直線m的解析式為y=kx+b,聯(lián)立
,得:x
2-kx-b=0.
∵m,n是方程的兩個根,∴mn=-b.
∴b=1.
設(shè)直線m與y軸交于點D,則OD=1.
易知C(0,-2),OC=2,∴CD=OC+OD=3.
∵∠BPC=∠OCP,∴PD=CD=3.
設(shè)P(a,-2a-2),過點P作PG⊥y軸于點G,則PG=-a,GD=OG-OD=-2a-3.
在Rt△PDG中,由勾股定理得:PG
2+GD
2=PD
2,
即:(-a)
2+(-2a-3)
2=3
2,整理得:5a
2+12a=0,
解得a=0(舍去)或a=-
,
當a=-
時,-2a-2=
,
∴P(-
,
).
分析:(1)聯(lián)立拋物線y=x
2與直線y=-
x+
的解析式,求出點A、B的坐標.
(2)①如答圖1所示,求出點P坐標(-2,2),設(shè)A(m,m
2).作輔助線,構(gòu)造直角梯形PGFB,AE為中位線,求出點B的坐標(用含m的代數(shù)式表示),然后代入拋物線的解析式求出m的值;
②與①解題思路一致.設(shè)P(a,-2a-2),A(m,m
2).作輔助線,構(gòu)造直角梯形PGFB,AE為中位線,求出點B的坐標(用含a、m的代數(shù)式表示),然后代入拋物線的解析式得到關(guān)于m的一元二次方程,根據(jù)其判別式大于0,可證明題中結(jié)論成立.
(3)△AOB的外心在邊AB上,則AB為△AOB外接圓的直徑,∠AOB=90°.設(shè)A(m,m
2),B(n,n
2).作輔助線,證明△AEO∽△OFB,得到mn=-1.再聯(lián)立直線m:y=kx+b與拋物線y=x
2的解析式,由根與系數(shù)關(guān)系得到:mn=-b,所以b=1;由此得到OD、CD的長度,從而得到PD的長度;作輔助線,構(gòu)造Rt△PDG,由勾股定理求出點P的坐標.
點評:本題是二次函數(shù)綜合題型,考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、梯形及梯形中位線、勾股定理、相似三角形、一元二次方程等知識點,有一定的難度.第(2)問中,注意根的判別式的應(yīng)用,第(3)問中,注意根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用.