Question

20．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S_△ABC=2S_△ABF．其中正確的結(jié)論有（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 ①根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；
②根據(jù)點E是AD邊的中點，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形對應邊成比例，可得CF=2AF，故②正確；
③過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；
④根據(jù)CF=2AF，即可得出結(jié)論④錯誤；即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，過D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故②正確；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DN垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正確；
∵CF=2AF，
∴S_△ABC=3S_△ABF．
∴④不正確；
其中正確的結(jié)論有3個，
故選：B．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形面積的計算的綜合應用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．解題時注意，相似三角形的對應邊成比例．