Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l₁經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)A，將直線l₁繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向上平移2個(gè)單位長度得到直線l₂．
（1）寫出直線l₁繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（2）求直線l₁與l₂的解析式；
（3）若點(diǎn)P在x軸上，且滿足△PAA′是等腰三角形，請你在圖中用尺規(guī)作圖法作出所有滿足條件的點(diǎn)P的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）．

Answer 1

分析：注意到圖中直線過點(diǎn)O和點(diǎn)A，繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°畫出相應(yīng)的圖形，很容易得出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；由兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)一步求解析式；
P在x軸上，且滿足△PAA'是等腰三角形，有PA=PA′、PA=AA′、PA′=AA′三種情況．

解答：解：（1）由圖象可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4），A′的坐標(biāo)是（-4，2）．

（2）設(shè)直線l₁的解析式是y=k₁x
得2k₁=4即k₁=2
∴直線l₁的解析式是y=2x
設(shè)直線l₁繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的直線解析式是y=k₂x
把點(diǎn)A′（-4，2）代入y=k₂x，得-4k₂=2，解得k2=-

1

2

即y=-

1

2

x
∴直線l₂的解析式是y=-

1

2

x+2
說明：可用其他方法求直線l₂的解析式．

（3）滿足條件的點(diǎn)P有三種情形′
，
PA=PA′時(shí)作AA′的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)P
PA=AA′以A為圓心AA'為半徑作圓，與x軸交于點(diǎn)P
PA′=AA′以A′為圓心AA'為半徑作圓，交x軸于點(diǎn)P
如圖所示P點(diǎn)為滿足條件的位置．

點(diǎn)評：線的旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)換為點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，找到對應(yīng)的點(diǎn)即可求出解．做題時(shí)要注意到有多種情況滿足要求，考慮要周到，注重培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度．