Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)是（3，0），半徑為2的⊙M交x軸于E、F

兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（－1，0）作⊙M的切線(xiàn)，切點(diǎn)為點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)C，交⊙M于

點(diǎn)B。拋物線(xiàn)y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)P、B、M三點(diǎn)。

1.（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（3分）

2.（2）若點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且位于P、B兩點(diǎn)之間，設(shè)四邊形APQB的面積為S，點(diǎn)Q的

橫坐標(biāo)為x，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值和此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4分）

3.（3）如圖2，將弧AEB沿弦AB對(duì)折后得到弧AE′B，試判斷直線(xiàn)AF與弧AE′B的位置關(guān)系，

并說(shuō)明理由。（3分）

 

Answer 1

 

1.（1）如圖5，依題意，可知：

           點(diǎn)

∵拋物線(xiàn)y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)P、B、M三點(diǎn)

∴

解得： 

∴拋物線(xiàn)的解析式為：

2.（2）如圖6，依題意設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y₀），

過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸交于點(diǎn)N，連接QP、QB

       ∵點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且位于P、B兩點(diǎn)之間，

       ∴，－1≤x≤2

∴四邊形APQB的面積為S為：

 

  ；（其中，－1≤x≤2）

即：；（其中，－1≤x≤2）

∴ 當(dāng)時(shí)，四邊形APQB的面積S有最大值，,

  此時(shí)，，，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（－1，0），

3.（3）直線(xiàn)AF與弧AE′B相切，理由如下：

如圖7，由（1）可知，PA是⊙M的切線(xiàn)，且

      點(diǎn)

∴△ACP≌△ACF

∵將弧AEB沿弦AB對(duì)折后得到弧AE′B

∴PA是弧AEB的切線(xiàn)

∴FA是弧AE′B的切線(xiàn)

           即：直線(xiàn)AF與弧AE′B相切

 

解析:略