Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點O是斜邊AB上一動點，以OA為半徑作⊙O與AC邊交于點P，

1.當OA=時，求點O到BC的距離

2.如圖2，當OA=時，求證：直線BC與⊙O相切；此時線段AP的長是多少？

3.若BC邊與⊙O有公共點，直接寫出 OA

的取值范圍；

4.若CO平分∠ACB，則線段AP的長是多少？

 

Answer 1

 

1.解：在Rt△ABE中，．   …………… 1分

過點O作OD⊥BC于點D，則OD∥AC，

∴△ODB∽△ACB， ∴，   ∴，   ∴，

∴點O到BC的距離為．      …………………………………………………    3分

2.證明：過點O作OE⊥BC于點E， OF⊥AC于點F，

∵△OEB∽△ACB，  ∴  ∴，  ∴．

∴直線BC與⊙O相切．         ………………………………………………… 5分

此時，四邊形OECF為矩形，

∴AF=AC-FC=3-=，

∵OF⊥AC，

∴AP=2AF=．                …………………………………………………   7分

3.；             …………………………………………………  9分

4.點O作OG⊥AC于點G， OH⊥BC于點H，

則四邊形OGCH是矩形，且AP=2AG，

又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形． ………………… 10分

設正方形OGCH的邊長為x，則AG=3-x，

∵OG∥BC，

∵△AOG∽△ABC，   ∴，  ∴ ，

∴，

∴，

∴AP=2AG=．              …………………………………………………    12分

解析:略