Question

（2010•自貢）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)在x軸上且在點(diǎn)A的右側(cè)，AB=OA，過點(diǎn)A和B作x軸的垂線分別交二次函數(shù)y=x²圖象于點(diǎn)C和D，直線OC交BD于M，直線CD交y軸于點(diǎn)H．記C、D的橫坐標(biāo)分別為x_c，x_D，于點(diǎn)H的縱坐標(biāo)y_H．
（1）證明：①S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3；②x_c•x_D=-y_H；
（2）若將上述A點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）改為A點(diǎn)坐標(biāo)（t，0）（t＞0），其他條件不變，結(jié)論S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3是否仍成立？請(qǐng)說明理由．
（3）若A的坐標(biāo)（t，0）（t＞0），又將條件y=x²改為y=ax²（a＞0），其他條件不變，那么x_c，x_D和y_H又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出關(guān)系式，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意易求得A、B的坐標(biāo)，將它們的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出C、D的坐標(biāo)；
①首先求出直線OC的解析式，聯(lián)立B點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；以DM為底，A、B橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，可求出△CMD的面積；同理可根據(jù)梯形的面積公式求出梯形ABMC的面積，進(jìn)而可判斷出所求的結(jié)論是否正確；
②用待定系數(shù)法易求得直線CD的解析式，即可得到H點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再判斷所求的結(jié)論是否正確．
（2）的解法同（1）；
（3）由于二次函數(shù)的解析式為y=ax²（a＞0），且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0）時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，at²），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2t，4at²），然后設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求出CD的函數(shù)解析式，接著得到H的坐標(biāo)為（0，-2at²），也就得到題目的結(jié)論．
解答：（1）證明：由已知可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），且
直線OC的函數(shù)解析式為y=x．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2），易得S_△CMD=1，S_梯形ABMC=（1.5分）
∴S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3，即結(jié)論①成立．
設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y=kx+b，
則，
即；
∴直線CD的解析式為y=3x-2．
由上述可得點(diǎn)H的坐標(biāo)為（0，-2），
即y_H=-2（2.5分）
∴x_C•x_D=-y_H．
即結(jié)論②成立（3分）

（2）解：結(jié)論S_△CMD：S_梯形ABMC=2：3仍成立；（4分）
理由如下：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），（t＞0）；
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2t，0）
從而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，t²），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2t，4t²）；
設(shè)直線OC的解析式為y=kx，則t²=kt得k=t
∴直線OC的解析式為y=tx（5分）
又設(shè)M的坐標(biāo)為（2t，y）
∵點(diǎn)M在直線OC上
∴當(dāng)x=2t時(shí)，y=2t²
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2t，2t²）（6分）
∴S_△CMD：S_梯形ABMC=•2t²•t：（t²+2t²）•t
=t³：（t³）
=（7分）

（3）解：x_C，x_D和y_H有關(guān)數(shù)量關(guān)系x_C•x_D=-y_H（8分）
由題意，當(dāng)二次函數(shù)的解析式為y=ax²（a＞0），且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0）時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，at²），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2t，4at²）（9分）
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b
則，
得；
∴CD的解析式為y=3atx-2at²（11分）
則H的坐標(biāo)為（0，-2at²）
即y_H=-2at²（11.5分）
∵x_C•x_D=t•2t=2t²（12分）
∴x_C•x_D=-y_H．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)及圖形面積的求法，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．