Question

已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過P作BP的垂線交直線AD于點(diǎn)Q，若△APQ為等腰三角形，則AP的長(zhǎng)度為______．

Answer 1

分為兩種情況：①點(diǎn)Q在AD上時(shí)，∠AQP是鈍角，只有AQ=AP，
即∠QAP=∠QPA，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∵BP⊥PQ，
∴∠BPQ=90°，
∴∠BAP=∠BPA，
∴AB=BP，
即BQ垂直平分AP，
∴AE=EP，
∵∠ABC=∠AEB，∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ACB，
∴

AB

AC

=

AE

AB

，
∴

3

5

=

AE

3

，
∴AE=

9

5

∴AP=2AE=

18

5

；
②在Rt△ABC中，AB=3，∠ABC=90°，BC=4，由勾股定理得：AC=5，
點(diǎn)Q在DA延長(zhǎng)線上，顯然∠QAP是鈍角，有AQ=AP，∠Q=∠APQ，
∵∠Q+∠AEQ=∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠Q=∠PBE=∠APQ
∵∠APQ+∠BPC=∠PBE+∠PBC=90°
∴∠BPC=∠PBC，
∴CP=CB=4，
∴AP=5-4=1，
故答案為：

18

5

或1．