Question

如圖，二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1，它與y軸交于點（0，3），與x軸交于點A、B，并且已知該二次函數(shù)有最小值y=-4．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求點A與點B之間的距離；
（3）將該拋物線沿x軸平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點？并寫出平移后所得圖象與x軸的另一個交點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)即可利用頂點式求出二次函數(shù)解析式；
（2）利用二次函數(shù)圖象與x軸交點求法，y=0，求出x即可，再利用兩點距離公式求出即可；
（3）根據(jù)（2）中AB的長度，以及圖象經(jīng)過原點，即可得出另一點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1，它與y軸交于點（0，3），該二次函數(shù)有最小值y=-4．
∴二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為：（1，-4），
代入頂點式方程得：y=a（x-1）²-4，
將（0，3）代入上式得出：3=a（0-1）²-4，
解得：a=7，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=7（x-1）²-4，

（2）∵二次函數(shù)圖象與x軸交于點A、B，
∴0=7（x-1）²-4，
解得：x₁=1+

2 7

7

，x₂=1-

2 7

7

；
∴AB=1+

2 7

7

-（1-

2 7

7

）=

4 7

7

；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)即可得出，圖象向右平移1-

2 7

7

個單位長度或向左平移1+

2 7

7

個單位長度時，圖象過原點，
∴根據(jù)AB=1+

2 7

7

-（1-

2 7

7

）=

4 7

7

；
∴平移后所得圖象與x軸的另一個交點的坐標(biāo)為：（-

4 7

7

，0）或（

4 7

7

，0）．

點評：此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)與x軸交點坐標(biāo)求法和二次函數(shù)圖象的平移等知識，此題比較基礎(chǔ)，根據(jù)圖象平移的性質(zhì)，圖象大小不發(fā)生變化得出圖象與x軸的交點距離不變是解決問題的關(guān)鍵．