Question

（2012•永安市質(zhì)檢）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，D是AB延長線上一點(diǎn)，且DC=AC，∠CAB=30°．
（1）試判斷CD所在的直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB=2，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，證明∠OCD=90°，從而判斷CD與⊙O相切．易證∠COD=60°，所以∠OCD=90°，從而得證；
（2）利用“切割法”解答，即S_陰影=S△_OCD-S_扇形OCB．

解答：解：（1）CD是⊙O的切線．理由如下：
∵DC=AC，∠CAB=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°（等邊對等角）．
連接OC．
∴∠COB=60°，即∠COD=60°（在同圓中，同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）．
在△COD中，∠CDO=30°，∠COD=60°，
∴∠DCO=90°．
又∵點(diǎn)C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線，即直線CD與⊙O相切；

（2）連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角）．
∵∠CAB=30°，
∴∠COD=2∠CAB=60°，OC=

1

2

AB=1，
∴在Rt△OCD中，CD=OC×tan60°=

3

，
∴S_陰影=S△_OCD-S_扇形OCB=

1

2

×1×

3

-

60π×12

360

=

3

2

-

π

6

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定、解直角三角形等知識點(diǎn)，難度中等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．