Question

（2012•西城區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y₁=2x²+

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的頂點(diǎn)為M，直線y₂=x，點(diǎn)P（n，0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線y₁=2x²+

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和直線y₂=x于點(diǎn)A，點(diǎn)B．
（1）直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）；
（2）設(shè)線段AB的長(zhǎng)為d，求d關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式及d的最小值，并直接寫出此時(shí)線段OB與線段PM的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；
（3）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c為整數(shù)且a≠0），對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒有x≤y≤2x²+

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，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）由題意不難看出：點(diǎn)P、A、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入函數(shù)y₁、y₂的解析式中即可確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，可看出拋物線y₁的圖象始終在直線y₂的上方，那么線段AB的長(zhǎng)可由點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)差求得，據(jù)此求出關(guān)于d、n的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)先確定出符合題意的n、d值，即可確定點(diǎn)B、P的坐標(biāo)，點(diǎn)M的坐標(biāo)易得，根據(jù)這四點(diǎn)坐標(biāo)即可確定線段OB、PM的位置和數(shù)量關(guān)系．
（3）首先將函數(shù)解析式代入不等式中，再根據(jù)利用函數(shù)圖象解不等式的方法來求出待定系數(shù)的取值范圍，最后根據(jù)a、b、c都是整數(shù)確定它們的值．

解答：解：（1）當(dāng)x=n時(shí)，y₁=2n²+

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，y₂=n；
∴A（n，2n²+

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），B（n，n）．

（2）d=AB=|y_A-y_B|=|2n²-n+

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|．
∴d=|2（n-

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）²+

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|=2（n-

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）²+

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8

．
∴當(dāng)n=

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時(shí)，d取得最小值

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．
此時(shí)，B（

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，

1

4

），而M（0，

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）、P（

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，0）
∴四邊形OMBP是正方形
∴當(dāng)d取最小值時(shí)，線段OB與線段PM的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是OB⊥PM且OB=PM．（如圖）

（3）∵對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒有 x≤y≤2x²+

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，
∴對(duì)一切實(shí)數(shù)x，x≤ax²+bx+c≤2x²+

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都成立．（a≠0）①
當(dāng)x=0時(shí)，①式化為 0≤c≤

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．
∴整數(shù)c的值為0．
此時(shí)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x，x≤ax²+bx≤2x²+

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都成立．（a≠0）
即 

x≤ax2+bx② ax2+bx≤2x2+ 1 4 ③

對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立．
由②得 ax²+（b-1）x≥0  （a≠0）對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立．
∴

a＞0④ △1=(b-1)2≤0⑤

由⑤得整數(shù)b的值為1．
此時(shí)由③式得，ax²+x≤2x²+

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對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立．（a≠0）
即（2-a）x²-x+

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≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立．（a≠0）
當(dāng)a=2時(shí)，此不等式化為-x+

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≥0，不滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立．
當(dāng)a≠2時(shí)，∵（2-a）x²-x+

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≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，（a≠0）
∴

2-a＞0⑥ △2=(-1)2-4×(2-a)× 1 4 ≤0⑦

∴由④，⑥，⑦得 0＜a≤1．
∴整數(shù)a的值為1．
∴整數(shù)a，b，c的值分別為a=1，b=1，c=0．

點(diǎn)評(píng)：該題考查的重點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)以及利用函數(shù)圖象解不等式的方法；難點(diǎn)是最后一題，熟練掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵：
若ax²+bx+c＞0（a≠0）恒成立，那么y=ax²+bx+c（a≠0）的函數(shù)圖象：開口向上且拋物線與x軸無交點(diǎn)，即：a＞0且△=b²-4ac＜0．（可利用函數(shù)圖象輔助理解）