Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），二次函數(shù)y=x²的圖象記為拋物線b₁．
（1）平移拋物線b₁，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，但不經(jīng)過點(diǎn)B．寫出平移后的一個(gè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式：

 

 （任寫一個(gè)即可）；
（2）平移拋物線b₁，使平移后的拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，記為拋物線b₂，如圖2．求拋物線b₂的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)拋物線b₂的頂點(diǎn)為C，k為y軸上一點(diǎn)．若S_△ABK=S_△ABC，如圖3，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）可將拋物線b₁向上平移，設(shè)平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式：y=x²+b，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線b₂的函數(shù)關(guān)系式為y=x²+bx+c，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式；
（3）首先根據(jù)題意求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得△ABC的面積，然后分別從點(diǎn)K在A的上方與下方去分析求解，即可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)．

解答：解：（1）向上平移拋物線b₁，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，
設(shè)平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式：y=x²+b，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），
∴2=1+b，
解得：b=1，
∴平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式：y=x²+1；
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），
∴3²+1≠1，
∴平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式：y=x²+1；
故答案為：y=x²+1．

（2）設(shè)∵拋物線b₂經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，
∴

1+b+c=2 9+3b+c=1

，
解得：

b=- 9 2 c= 11 2

，
∴拋物線b₂的函數(shù)關(guān)系式為：y=x²-

9

2

x+

11

2

；

（3）∵y=x²-

9

2

x+

11

2

=（x-

9

4

）²+

7

16

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

9

4

，

7

16

），
過點(diǎn)C作CG⊥y軸，BF⊥y軸，AE⊥y軸，
∴AE=1，BF=3，CG=

9

4

，EF=2-1=1，F(xiàn)G=1-

7

16

=

9

16

，EG=2-

7

16

=

25

16

，
∴S_△ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCGF-S_梯形ACGE=

1

2

（AE+BF）•EF+

1

2

（CG+BF）•GF-

1

2

（AE+CG）•EG=

15

16

，
若K在A點(diǎn)上方，坐標(biāo)為（0，y）
S_△ABK=S_△BNK-S_△AMK-S_梯形ABNM=

1

2

BN•NK-

1

2

AM•MK-

1

2

（AM+BN）•MN=

1

2

×3×（y-1）-

1

2

×1×（y-2）-

1

2

×（1+3）×1=

2y-5

2

，
∵S_△ABK=S_△ABC，
∴

2y-5

2

=

15

16

，
解得：y=

55

16

，
則點(diǎn)K（0，

55

16

）；
同理：若K在A的下方時(shí)，則點(diǎn)K（0，

25

16

）；
∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（0，

55

16

）或（0，

25

16

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及三角形面積的求解方法．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想，方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．