Question

已知：拋物線y=-x²+（k+1）x+2k+1經(jīng)過點(diǎn)A（0，3）．
（1）求k的值；
（2）設(shè)拋物線交x軸于B、C兩點(diǎn)（B在C右邊），點(diǎn)P（m，n）是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AB上方，設(shè)△PAB的面積為s，試寫出s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值；
（3）平行于x軸的一條直線交拋物線于E、F兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，可求k的值；
（2）求出拋物線與直線AB的解析式，用m表示P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得出PE長(zhǎng)的表達(dá)式，由s=

1

2

×PE×OB求△PAB面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值；
（3）設(shè)圓的半徑為r，分為EF在x軸上方時(shí)，EF在x軸下方時(shí)，兩種情況，由拋物線與圓的對(duì)稱性，圓心在拋物線對(duì)稱性x=1上，可知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（r+1，r）或（r+1，-r），分別代入拋物線解析式可求r的值．

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），
∴2k+1=3，
∴k=1；（3分）

（2）作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AB于E點(diǎn)，
∵k=1時(shí)，拋物線解析式為y=-x²+2x+3，則A（0，3），B（3，0），
∴直線AC解析式為y=-x+3，
∵點(diǎn)P（m，n）在拋物線上，
∴n=-m²+2m+3，PE=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m，
∴s=

1

2

×PE×OB=

3

2

（-m²+3m）=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

，
∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，s取最大值為

27

8

；（7分）

（3）設(shè)圓的半徑為r．
①當(dāng)EF在x軸上方時(shí)，
由拋物線及直線與圓相切的性質(zhì)可得：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（r+1，r）
代入y=-x²+2x+3得：-（r+1）²+2（r+1）+3=r，
即r²+r-4=0
解得：r=

-1± 17

2

（r取正數(shù)）（10分）
②當(dāng)EF在x軸下方時(shí)，
由拋物線及直線與圓相切的性質(zhì)可得：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（r+1，-r），
代入y=-x²+2x+3得：-（r+1）²+2（r+1）+3=-r，
即r²-r-4=0，
解得：r=

1± 17

2

（r取正數(shù)）
由①②知：r=

-1+ 17

2

或r=

1+ 17

2

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)拋物線解析式，形數(shù)結(jié)合，表示三角形面積，根據(jù)圓與拋物線的軸對(duì)稱性，確定圓與x軸相切時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)．