附加題:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于點(diǎn)E,F(xiàn)是CD的中點(diǎn),DG是梯形ABCD的高.精英家教網(wǎng)
(1)求證:四邊形AEFD是平行四邊形;
(2)設(shè)AE=x,四邊形DEGF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
分析:(1)本題可分別證明四邊形AEFD的兩邊平行,先求DF∥EA,也就是求∠BDC=90°,已知∠C是60°,可以通過等腰梯形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ADC=120°,在等腰三角形ABD中,AE是底邊的高,根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)可得出∠BAE=∠EAD=60°,E是BD中點(diǎn),那么∠ADB=30°,因此便可證得∠BDC=90°即可得出AE∥DF,下面證AD∥EF,EF是三角形DBC的中位線,EF∥BC∥AD,因此便可得出四邊形AEFD是平行四邊形.
(2)我們不難看出DG⊥EF,因此四邊形EDFG的面積可用
1
2
EF•DG來求.直角三角形AED中有AE的值,有∠ADB的度數(shù),可以求出AD的長(zhǎng),也就求出了EF的長(zhǎng),同理可在三角形DGC中求出DG的長(zhǎng),這樣就能求出四邊形DEGF的面積了.
解答:(1)證明:∵AB=DC,
∴梯形ABCD為等腰梯形.
∵∠C=60°,
∴∠BAD=∠ADC=120°.
又∵AB=AD,精英家教網(wǎng)
∴∠ABD=∠ADB=30°.
∴∠DBC=∠ADB=30°.
∴∠BDC=90°.
由AE⊥BD,
∴AE∥DC.
又∵AE為等腰△ABD的高,
∴E是BD的中點(diǎn)(等腰三角形三線合一).
∵F是DC的中點(diǎn),
∴EF∥BC.
∴EF∥AD.
∴四邊形AEFD是平行四邊形.

(2)解:在Rt△AED中,∠ADB=30°,
∵AE=x,
∴AD=2x.
在Rt△DGC中∠C=60°,且DC=AD=2x,
∴DG=
3
x.
由(1)知:在平行四邊形AEFD中:EF=AD=2x,
又∵DG⊥BC,
∴DG⊥EF.
∴四邊形DEGF的面積=
1
2
EF•DG.
∴y=
1
2
×2x•
3
x=
3
x2(x>0).
點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵是求出四邊形AEFD是平行四邊形,要根據(jù)已知條件選擇比較容易的證法.
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