Question

當(dāng)Rt△的直角頂點(diǎn)P要正方形ABCD對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)（P與A、C不重合）且一直角邊始終過(guò)點(diǎn)D，另一直角邊與射線BC交于點(diǎn)E，
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與BC邊相交時(shí)，
①證明：△PBE為等腰三角形；
②寫出線段AP、PC與EC之間的等量關(guān)系

PC-PA

2

（不必證明）


（2）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)完成圖2，并判斷（1）中的①、②結(jié)論是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（不必證明）

Answer 1

分析：先求證△PBC≌△PDC得∠PBC=∠PDC，∵∠BCD=∠DPE=90°∠PEB=∠PDC，∠PEB=∠PBC即可證明PB=PE．即△PBE為等腰三角形．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=90°，
在△PBC和△PDC中，∵

BC=DC ∠BCP=∠DCP=45° PC=PC

，
∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴∠PBC=∠PDC．
∵∠BCD=∠DPE=90°
∴∠PDC+∠PEC=180°，又∠PEB+∠PEC=180°
∴∠PEB=∠PDC，∴∠PEB=∠PBC
∴PB=PE
∴△PBE為等腰三角形．
②EC=

PC-PA

2

另法：過(guò)P作PF垂直于BC，過(guò)E作EA′垂直于BC，交AC于A'，由平行線等分線段定理得PA=PA′，
易證△A′EC為等腰三角形，故A′C=

2

CE，
所以EC=

PC-PA

2

．

（2）結(jié)論①仍成立；
結(jié)論②不成立，此時(shí)②中三條線段的數(shù)量關(guān)系是EC=

PA-PC

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，考查了等腰三角形的判定，本題中求證∠PEB=∠PBC是解題的關(guān)鍵．