解:
(1)在Rt△ABE中,
.
過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D,則OD∥AC,
∴△ODB∽△ACB,∴
,∴
,∴
,
∴點(diǎn)O到BC的距離為
.
(2)證明:過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E,OF⊥AC于點(diǎn)F,
∵△OEB∽△ACB,∴
∴
,∴
.
∴直線BC與⊙O相切.
此時(shí),四邊形OECF為矩形,
∴AF=AC-FC=3-
=
,
∵OF⊥AC,∴AP=2AF=
.
(3)
;
(4)過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G,OH⊥BC于點(diǎn)H,
則四邊形OGCH是矩形,且AP=2AG,
又∵CO平分∠ACB,∴OG=OH,∴矩形OGCH是正方形.
設(shè)正方形OGCH的邊長為x,則AG=3-x,
∵OG∥BC,∵△AOG∽△ABC,
∴
,∴
,
∴
,∴
,∴AP=2AG=
.
分析:(1)過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D,易證△ODB∽△ACB,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解;
(2)首先證明直線BC與⊙O相切,則四邊形OECF為矩形,即可求得AF,進(jìn)而求得AP的長;
(3)首先求得圓的半徑,根據(jù)BC邊與⊙O有公共點(diǎn)即直線與圓相切或相交,則圓心到直線的距離小于或等于圓的半徑,即可求解;
(4)過點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G,OH⊥BC于點(diǎn)H,則四邊形OGCH是矩形,矩形OGCH是正方形,設(shè)正方形OGCH的邊長為x,則AG=3-x,易證
△AOG∽△ABC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),并且與矩形、正方形的判定相結(jié)合,是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目.