Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）、C（-1，5），與y軸相交于點(diǎn)D，直線y=kx+m與拋物線相交于B、C兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式．
（2）求tan∠DCB的值．
（3）若點(diǎn)P在直線BC上，該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題,壓軸題,數(shù)形結(jié)合,分類討論

分析：（1）已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式．
（2）首先由B、C的坐標(biāo)求出直線BC的解析式以及∠CBO的度數(shù)，然后分別過C作y軸的垂線、過D作直線BC的垂線，通過構(gòu)建的兩個(gè)直角三角形，求出與tan∠DCB相關(guān)的兩條直角邊，由此得解．
（3）此題的情況較為復(fù)雜，但由于AB位于x軸上，所以總體上可分作兩種情況：
①以AB為對角線，那么先找出AB的中點(diǎn)，由直線BC的解析式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)（即AB的中點(diǎn)）表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中，即可求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；
②以AB為邊，那么PQ必與AB平行，及P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，首先表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)AB的長（PQ=AB）表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由于拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（4，0），可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-4），代入點(diǎn)C坐標(biāo)后，得：
a（-1-1）（-1-4）=5，解得 a=

1

2

∴拋物線的解析式：y=

1

2

（x-1）（x-4）=

1

2

x²-

5

2

x+2．

（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

4k+b=0 -k+b=5

，解得

k=-1 b=4

∴直線BC：y=-x+4，則 E（0，4）．
過C作CF⊥y軸于F，過D作DG⊥BC于G，如右圖；
在Rt△OBE中，OB=OE=4，所以∠OBE=∠OEB=∠CEF=45°；
在Rt△CEF中，∠CEF=45°，則 CF=EF=1，CE=

2

；
在Rt△DEG中，∠DEG=45°，DE=4-2=2，EG=DG=

2

；
在Rt△CDG中，CG=CE+EG=2

2

，DG=

2

，所以 tan∠DCB=

DG

CG

=

1

2

．

（3）假設(shè)存在符合條件的P、Q點(diǎn)，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況：
①以AB為對角線，則P、Q關(guān)于AB的中點(diǎn)對稱，取AB的中點(diǎn)（2.5，0），設(shè)點(diǎn)P（x，-x+4），則Q（5-x，x-4）；
由于點(diǎn)Q在拋物線的圖象上，依題意有：

1

2

（5-x）²-

5

2

（5-x）+2=x-4
解得：x₁=3、x₂=4（舍去）
∴P₁（3，1）；
②以AB為邊，那么PQ∥AB（即P、Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同）且PQ=AB=3，設(shè)P（x，-x+4），則Q（x+3，-x+4）或（x-3，-x+4）；
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，依題意有：
當(dāng)Q（x+3，-x+4）時(shí)，

1

2

（x+3）²-

5

2

（x+3）+2=-x+4，解得：x₁=2，x₂=-5；
∴P₂（2，2）、P₃（-5，9）；
當(dāng)Q（x-3，-x+4）時(shí)，

1

2

（x-3）²-

5

2

（x-3）+2=-x+4，解得：x₁=4（舍），x₂=5；
∴P₄（5，-1）．
綜上，存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為：P（3，1）、（2，2）、（-5，9）、（5，-1）．

點(diǎn)評：該題考查的內(nèi)容并不復(fù)雜，主要涉及到利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、解直角三角形以及平行四邊形的判定和性質(zhì)；但最后一題需要考慮的情況較多，能夠根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)準(zhǔn)確找出P、Q點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，是突破此題的關(guān)鍵所在．