Question

在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線(xiàn)段AD與BC之間的數(shù)量關(guān)系: AD=     BC��；
（2）如圖2，若P是線(xiàn)段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），聯(lián)結(jié)AP，將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線(xiàn)段AE，聯(lián)結(jié)CE，猜想線(xiàn)段AD、CE、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，若點(diǎn)P是線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（2）中的其他條件不變，按照（2）中的作法，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出線(xiàn)段AD、CE、PC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

（1）；（2）AD=，理由見(jiàn)解析；（3）補(bǔ)圖見(jiàn)解析，AD=．

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得∠B=60⁰，AB=BC，所以根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值求得AD=．
（2）根據(jù)等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△ABP≌△ACE即可求得結(jié)論．
（3）類(lèi)同（2）的證明．
試題解析：（1）∵等邊三角形ABC，∴∠B=60⁰，AB=BC．
又∵AD⊥BC，∴．
（2）AD=．理由如下：
∵線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線(xiàn)段AE，∴∠PAE=60°，AP=AE．
∵等邊三角形ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC．
∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAE﹣∠PAC．∴∠BAP=∠CAE．
在△ABP和△ACE中，∵，
∴△ABP≌△ACE．∴BP=CE．
∵BP+PC=BC，∴CE+ PC=BC．
∵AD=BC，∴AD=．
（3）補(bǔ)全圖形如圖：

∵線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線(xiàn)段AE，∴∠PAE=60°，AP=AE．
∵等邊三角形ABC，∴∠BAC=60°，AB=AC．
∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC．∴∠BAP=∠CAE．
在△ABP和△ACE中，∵，
∴△ABP≌△ACE．∴BP=CE．
∵，∴．
∵AD=BC，∴AD=．