Question

（2013•閔行區(qū)三模）已知：如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，且AB=AD，AC=10，sinC=

4

5

．求：
（1）線段EF的長(zhǎng)；
（2）∠B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接AE，根據(jù)AB=AD，E為BD中點(diǎn)，可證得AE⊥BD，然后根據(jù)F為AC的中點(diǎn)，可得EF=

1

2

AC，即可求出EF的長(zhǎng)度；
（2）在Rt△AEC中，根據(jù)AC=10，sinC=

4

5

，求出AE、EC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)D、E分別為BC、BD的中點(diǎn)，求出BE的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，繼而可求得∠B的余弦值．

解答：解：（1）連接AE．
∵AB=AD，E為BD的中點(diǎn)，
∴AE⊥BD，即得∠AEC=90°．
又∵F是AC的中點(diǎn)，AC=10，
∴EF=

1

2

AC=5；

（2）在Rt△AEC中，
∵sinC=

AE

AC

=

4

5

，
∴AE=

4

5

AC=

4

5

×10=8，
∴CE=

AC2-AE2

=

102-82

=6，
∵D是邊BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
又∵E為BD的中點(diǎn)，
∴BE=ED=

1

2

BD，
∵CE=CD+ED=2BE+BE=6，
∴BE=2，
∴AB=

AE2+BE2

=

82+22

=2

17

，
∴cosB=

BE

AB

=

2

2 17

=

17

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及勾股定理的應(yīng)用．