Question

已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關系式及點C的坐標；
（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標．

Answer 1

（1），C(0,3)；(2)點P的坐標為：（-1，6），（0，3）；(3)

試題分析：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結合是這部分考查的重點也是難點應重點掌握．
（1）根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；
（2）從當△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠PAB=90°與當△PAB是以B為直角頂點的直角三角形，且∠PBA=90°，分別求出符合要求的答案；
（3）根據(jù)當OE∥AB時，△FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（3，0），B（4，1）兩點，

解得：，
∴
∴點C的坐標為：（0，3）；
（2）假設存在，分兩種情況：
①當△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠PAB=90°，
如圖1，過點B作BM⊥x軸于點M，設D為y軸上的點，

∵A（3，0），B（4，1），
∴AM=BM=1，
∴∠BAM=45°，
∴∠DAO=45°，
∴AO=DO，
∵A點坐標為（3，0），
∴D點的坐標為：（0，3），
∴直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：
∴0=3k+b，b=3，
∴k=-1，
∴y=-x+3，
∴，
∴x²-3x=0，
解得：x=0或3，
∴y=3，y=0（不合題意舍去），
∴P點坐標為（0，3），
∴點P、C、D重合，
②當△PAB是以B為直角頂點的直角三角形，且∠PBA=90°，
如圖2，過點B作BF⊥y軸于點F，

由（1）得，F(xiàn)B=4，∠FBA=45°，
∴∠DBF=45°，
∴DF=4，
∴D點坐標為：（0，5），B點坐標為：（4，1），
∴直線BD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：
∴1=4k+b，b=5，
∴k=-1，
∴y=-x+5，
∴，
∴x²-3x-4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4（舍），
∴y=6，
∴P點坐標為（-1，6），
∴點P的坐標為：（-1，6），（0，3）；
（3）如圖3：作EM⊥AO于M，

∵直線AB的解析式為：y=x-3，
∴tan∠OAC=1，
∴∠OAC=45°，
∴∠OAC=∠OAF=45°，
∴AC⊥AF，
∵，
OE最小時S_△FEO最小，
∵OE⊥AC時OE最小，
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°，
∴MO=EM，
∵E在直線CA上，
∴E點坐標為（x，-x+3），
∴x=-x+3，
解得：x=，
∴E點坐標為（，）．