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【題目】如果一個三角形的三邊a,b,c能滿足a2+b2=nc2(n為正整數),那么這個三角形叫做“n階三角形”.如三邊分別為1、2、的三角形滿足12+22=1×(2,所以它是1階三角形,但同時也滿足(2+22=9×12,所以它也是9階三角形.顯然,等邊三角形是2階三角形,但2階三角形不一定是等邊三角形.

(1)在我們熟知的三角形中,何種三角形一定是3階三角形?

(2)若三邊分別是a,b,c(a<b<c)的直角三角形是一個2階三角形,求a:b:c.

(3)如圖1,直角ABC是2階三角形,AC<BC<AB,三條中線BD、AE、CF所構成的三角形是何種三角形?四位同學作了猜想:

A同學:是2階三角形但不是直角三角形;

B同學:是直角三角形但不是2階三角形;

C同學:既是2階三角形又是直角三角形;

D同學:既不是2階三角形也不是直角三角形.

請你判斷哪位同學猜想正確,并證明你的判斷.

(4)如圖2,矩形OACB中,O為坐標原點,A在y軸上,B在x軸上,C點坐標是(2,1),反比例函數y=(k>0)的圖象與直線AC、直線BC交于點E、D,若ODE是5階三角形,直接寫出所有可能的k的值.

【答案】(1)等腰直角三角形一定是3階三角形,(2)a:b:c=1:;(3)C同學猜想正確,(4)滿足題意k的值為1,4,7,

【解析】

試題分析:(1)等腰直角三角形為3階三角形,根據題中的新定義驗證即可;

(2)根據題中的新定義列出關系式,再利用勾股定理列出關系式,即可確定出a,b,c的比值;

(3)C同學猜想正確,由直角ABC是2階三角形,根據(2)中的結論得出AC,BC,AB之比,設出三邊,表示出AE,BD,CF,利用題中的新定義判斷即可;

(4)根據圖形設出E與D坐標,利用勾股定理表示出OE2,OD2以及ED2,由ODE是5階三角形,分類討論列出關于k的方程,求出方程的解即可得到k的值

試題解析:(1)等腰直角三角形一定是3階三角形,

理由為:設等腰直角三角形兩直角邊為a,a,

根據勾股定理得:斜邊為a,

則有a2+(a)2=3a2,即等腰直角三角形一定是3階三角形;

(2)∵△ABC為一個2階直角三角形,

c2=a2+b2,且c2+a2=2b2,

兩式聯(lián)立得:2a2+b2=2b2

整理得:b=a,c=a,

則a:b:c=1:;

(3)C同學猜想正確,

證明如下:如圖,∵△ABC為2階直角三角形,

AC:BC:AB=1:,

設BC=2,AC=2,AB=2

AE,BD,CF是RtABC的三條中線,

AE2=6,BD2=9,CF2=3,

BD2+CF2=2AE2,AE2+CF2=BD2

BD,AE,CF所構成的三角形既是直角三角形,又是2階三角形;

(4)根據題意設E(k,1),D(2,),

則AE=k,EC=2﹣k,BD=,CD=1﹣,OA=1,OB=2,

根據勾股定理得:OE2=1+k2,OD2=4+,ED2=(2﹣k)2+(1﹣2,

ODE是5階三角形,分三種情況考慮:

當OE2+OD2=5ED2時,即1+k2+4+=5[(2﹣k)2+(1﹣2],

整理得:k2﹣5k+4=0,即(k﹣1)(k﹣4)=0,

解得:k=1或k=4;

當OE2+ED2=5OD2時,(2﹣k)2+(1﹣2+1+k2=5(4+),

整理得:k2﹣5k﹣14=0,即(k﹣7)(k+2)=0,

解得:k=7或k=﹣2(舍去);

當OD2+ED2=5OE2時,4++(2﹣k)2+(1﹣2=5(1+k2),

整理得:7k2+10k﹣8=0,即(7k﹣4)(k+2)=0,

解得:k=或k=﹣2(舍去),

綜上,滿足題意k的值為1,4,7,

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