Question

在矩形OABC中，OA=8，OC=6，以矩形OABC的兩邊OA和OC所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸的正半軸上．拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．
（1）求b，c的值；
（2）如圖1，若點(diǎn)M（x，y）是第一象限中拋物線y=-x²+bx+c上一點(diǎn)，連接AM，MC，設(shè)四邊形OAMC的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并回答：x為何值時(shí)S取得最大值？
（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止．問(wèn)：能否在拋物線y=-x²+bx+c上找到點(diǎn)D，使得以P，D，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？如果能，請(qǐng)求出D點(diǎn)坐標(biāo)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，得B（8，6），C（0，6），
代入y=-x²+bx+c中，得，
解得b=，c=6；

（2）過(guò)M點(diǎn)作MN⊥x軸，垂足為N，由（1）可知M（x，-x²+x+6），
∴s=S_梯形CMNO+S_△AMN=（6-x²+x+6）•x+（-x²+x+6）•（8-x）=-x²+x+12，
當(dāng)x=時(shí)s取得最大值．

（3）如圖，又△CPD為等腰直角三角形，
當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí)，若CP為斜邊，
則D₁（6，8），若CP為直角邊，則D₂ （-4，-2），
當(dāng)P點(diǎn)在BC上時(shí)，若CP為斜邊，
則D₃ （2，8）．
即D₁（6，8）或D₂ （-4，-2）或D₃ （2，8）．
分析：（1）由矩形的性質(zhì)得B（8，6），C（0，6），代入y=-x²+bx+c中，列方程組求b、c的值；
（2）過(guò)M點(diǎn)作MN⊥x軸，垂足為N，將四邊形OAMC的面積分為直角梯形和三角形的面積求解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求S的最大值；
（3）能．分為P在AB上，P在CD上，兩種情況，以CP為等腰直角三角形的直角邊或斜邊，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，用解析式表示M點(diǎn)縱坐標(biāo)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示圖形的面積，形數(shù)結(jié)合求解．