Question

已知關(guān)于x的方程x²-2x-2n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求n的取值范圍；
（2）若n＜5，且方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求n的值．

Answer 1

解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-2x-2n=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=1、一次項(xiàng)系數(shù)b=-2、常數(shù)項(xiàng)c=-2n，
∴△=b²-4ac=4+8n＞0，
解得n＞-；

（2）由原方程，得
（x-1）²=2n+1，
解得x=1±；
∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且-＜n＜5，不是負(fù)數(shù)，
∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式，
∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，
解得n=0，n=1.5或n=4．
分析：（1）關(guān)于x的方程x²-2x-2n=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即判別式△=b²-4ac＞0．即可得到關(guān)于n的不等式，從而求得n的范圍；
（2）利用配方法解方程，然后根據(jù)n的取值范圍和限制條件“方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)”來(lái)求n的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．