Question

16．在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=-x+3與x軸、y軸相交于B、C兩點，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點B，對稱軸為直線x=1．

（1）求a和b的值；
（2）點P是直線BC上方拋物線上任意一點，設點P的橫坐標為t，△PBC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）P為拋物線上的一點，連接AC，當∠BCP=∠ACO時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得B、C兩點坐標，結(jié)合對稱軸，可求得a、b；
（2）過點P作PE∥y軸交BC于點D，交x軸于點E，作CF⊥PD于點F，可用t表示出PD的長，則可示得S與t的關系式；
（3）當點P在x軸下方時，過點A作AH⊥CP₁，利用面積相等可求得AK、CK的比，再利用勾股定理可求得K點的坐標，則可求得直線CK解析式，結(jié)合P₁在拋物線上可求得其坐標；當點P在x軸上方時，過點B作BM∥y軸，交CP₂延長線于點M，可證明△CBK≌△CBM，則可求得M點坐標，可求得直線CM解析式，同理可求得P₂點的坐標，則可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵直線y=-x+3與x軸、y軸相交于B、C兩點，
∴B（3，0），C（0，3），
∴9a+3b+3=0，
∵拋物線對稱軸為直線x=1，
∴$-\frac{2a}=1$，
∴a=-1，b=2；
（2）如圖1，過點P作PE∥y軸交BC于點D，交x軸于點E，作CF⊥PD于點F，

∵P（t，-t²+2t+3），
∴D（t，-t+3），
∵點P是直線BC上方，
∴PD=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t，
∴S_△PBC=S_△PCD+S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•CF+$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$PD•OB=$\frac{1}{2}$×3（-t²+3t）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t（0＜t＜3）；
（3）①如圖2，當∠BCP₁=∠ACO時，過點A作AH⊥CP₁，

∵OA=1，OC=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，
∵∠BCP₁=∠ACO，
∴∠ACH=45°，
∴AH=$\sqrt{5}$，
∵S_△ACK=$\frac{1}{2}$AK•OC=$\frac{1}{2}$CK•AH，
∴$\frac{AK}{CK}$=$\frac{AH}{OC}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
設AK=$\sqrt{5}m$，CK=3m，OK=$\sqrt{5}$m-1，
在Rt△COK中，OC²+OK²=CK²
∴${3^2}+{（\sqrt{5}m-1）^2}={（3m）^2}$3²+（$\sqrt{5}$m-1）²=（3m）²，解得m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴K（$\frac{3}{2}$，0），
∴直線CK解析式為y=-2x+3，
∴P₁（n，-2n+3）
∵P₁在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴P₁（4，-5）；
②如圖2，∠BCP₂=∠ACO時，過點B作BM∥y軸，交CP₂延長線于點M，
在△CBK和△CBM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BC{P}_{2}=∠BC{P}_{1}}\\{BC=BC}\\{∠CBO=∠CBM}\end{array}\right.$
∴△CBK≌△CBM（ASA），
∴BK=BM=$\frac{3}{2}$，
∴M（3，$\frac{3}{2}$），
∴直線CM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴P₂（m，-$\frac{1}{2}$m+3）
∵P₂在拋物線上，
∴P₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∴P點坐標為（4，-5）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識點．在（1）中利用對稱軸和B點坐標得到關于a、b的方程是解題的關鍵，在（2）中用t表示出PD的長是解題的關鍵，在（3）中分別求得直線CK、CM的解析式是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．