如圖①,已知點D在AC上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,點M為EC的中點.
(1)求證:△BMD為等腰直角三角形;
(2)將圖①中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示,則(1)題中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立?請說明理由.

(1)證明:∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點,
∴BM=EC=MC,
∴∠MBC=∠MCB.
∴∠BME=2∠BCM.
同理可證:DM=EC=MC,∠EMD=2∠MCD.
∴∠BMD=2∠BCA=90°,
∴BM=DM.
∴△BMD是等腰直角三角形.

(2)(1)題中的結(jié)論仍然成立.
理由:延長DM與BC交于點N,
∵DE⊥AB,CB⊥AB,
∴∠EDB=∠CBD=90°,
∴DE∥BC.
∴∠DEM=∠MCN.
又∵∠EMD=∠NMC,EM=MC,
∴△EDM≌△MNC.
∴DM=MN.DE=NC=AD.
又AB=BC,
∴AB-AD=BC-CN,
∴BD=BN.
∴BM⊥DM.即∠BMD=90°.
∵∠ABC=90°,
∴BM=DN=DM.
∴△BMD是等腰直角三角形.
分析:(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,求出BM=EN=MC,DM=EM=MC,然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可以證明∠BMD=90°,所以△BMD為等腰直角三角形;
(2)延長DM交BC于N,先根據(jù)∠EDB=∠ABC=90°證明ED∥BC,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等求出∠DEM=∠MCN,從而證明△EDM與△MNC全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DM=MN,然后即可證明BM⊥DM,且BM=DM.
點評:本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),熟練掌握判定定理及性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵,難度中等.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

28、(1)如圖1,已知點P在正三角形ABC的邊BC上,以AP為邊作正三角形APQ,連接CQ.
①求證:△ABP≌△ACQ;
②若AB=6,點D是AQ的中點,直接寫出當(dāng)點P由點B運動到點C時,點D運動路線的長.
(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,F(xiàn)G=10.如圖2,把△EFG繞點E旋轉(zhuǎn)到△EF′G′的位置,點M是邊EF′與邊FG的交點,點N在邊EG′上且EN=EM,連接GN.求點E到直線GN的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知點D在AC上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,點M為EC的中點.
(1)求證:△BMD為等腰直角三角形.
(2)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖2中的“△BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立?請說明理由.
(3)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)135°,如圖3中的“△BMD為等腰直角三角形”成立嗎?(不用說明理由).
(4)我們是否可以猜想,將△ADE繞點A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度,如圖4中的“△BMD為等腰直角三角形”均成立?(不用說明理由).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•下關(guān)區(qū)一模)(1)如圖1,已知點P在正三角形ABC的邊BC上,以AP為邊作正三角形APQ,連接CQ.
①求證:△ABP≌△ACQ;
②若AB=6,點D是AQ的中點,直接寫出當(dāng)點P由點B運動到點C時,點D運動路線的長.
(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,F(xiàn)G=10.如圖2,把△EFG繞點E旋轉(zhuǎn)到△EF'G'的位置,點M是邊EF'與邊FG的交點,點N在邊EG'上且EN=EM,連接GN.求點E到直線GN的距離.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•資陽)在一次機器人測試中,要求機器人從A出發(fā)到達(dá)B處.如圖1,已知點A在O的正西方600cm處,B在O的正北方300cm處,且機器人在射線AO及其右側(cè)(AO下方)區(qū)域的速度為20cm/秒,在射線AO的左側(cè)(AO上方)區(qū)域的速度為10cm/秒.
(1)分別求機器人沿A→O→B路線和沿A→B路線到達(dá)B處所用的時間(精確到秒);
(2)若∠OCB=45°,求機器人沿A→C→B路線到達(dá)B處所用的時間(精確到秒);
(3)如圖2,作∠OAD=30°,再作BE⊥AD于E,交OA于P.試說明:從A出發(fā)到達(dá)B處,機器人沿A→P→B路線行進(jìn)所用時間最短.
(參考數(shù)據(jù):
2
≈1.414,
3
≈1.732,
5
≈2.236,
6
≈2.449)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知點D在A上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,點M為BC的中點
(1)求證:△BMD為等腰直角三角形.
(2)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖2中的“△BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立?請說明理由.
(3)將△ADE繞點A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度,如圖3中的“△BMD為等腰直角三角形”是否均成立?說明理由.

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