Question

28、（1）如圖1，已知點P在正三角形ABC的邊BC上，以AP為邊作正三角形APQ，連接CQ．
①求證：△ABP≌△ACQ；
②若AB=6，點D是AQ的中點，直接寫出當點P由點B運動到點C時，點D運動路線的長．
（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如圖2，把△EFG繞點E旋轉到△EF′G′的位置，點M是邊EF′與邊FG的交點，點N在邊EG′上且EN=EM，連接GN．求點E到直線GN的距離．

Answer 1

分析：（1）①根據正三角形的性質知∠BAC=∠PAQ=60°，所以∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；然后再由等邊三角形的邊都相等知AB=AC，AP=AQ；從而根據全等三角形的判定定理SAS來證明△ABP≌△ACQ；
（2）作輔助線“過點E作底邊FG的垂線，點H為垂足”構建直角三角形，然后根據旋轉的性質先證明△EFM≌△EGN（SAS）；最后求得∠ENG=∠EMF=90°、EM=12，即點E到直線GN的距離是12．

解答：解：（1）①∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ．
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC．
∴∠BAP=∠CAQ．所以△ABP≌△ACQ．（3分）
②3（5分）

（2）解法一：過點E作底邊FG的垂線，點H為垂足．
在△EFG中，易得EH=12．（6分）類似（1）可證明△EFM≌△EGN，（7分）
∴∠EFM=∠EGN．
∵∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠EGN，
∴GE是∠FGN的角平分線，（9分）
∴點E到直線FG和GN的距離相等，
∴點E到直線GN的距離是12．（10分）
解法二：過點E作底邊FG的垂線，點H為垂足．
過點E作直線 GN的垂線，點K為垂足．
在△EFG中，易得EH=12．（6分）類似（1）可證明△EFM≌△EGN，（7分）
∴∠EFM=∠EGN．可證明△EFH≌△EGK，（9分）
∴EH=EK．所以點E到直線GN的距離是12．（10分）
解法三：把△EFG繞點E旋轉，對應著點M在邊FG上從點F開始運動．
由題意，在運動過程中，點E到直線GN的距離不變．
不失一般性，設∠EMF=90°．類似（1）可證明△EFM≌△EGN，
∴∠ENG=∠EMF=90°．
求得EM=12．
∴點E到直線GN的距離是12． （酌情賦分）

點評：本題考查了全等三角形是判定與性質及等邊三角形的性質．解答此題的關鍵是根據等邊三角形的三邊關系及三個內角的關系證明△ABP≌△ACQ和△EFM≌△EGN．