Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x²-4x-2（k-1）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
（1）是否存在k值使x₁•x₂＞x₁+x₂？若存在求出k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若方程兩根均為正整數(shù)，且x₁≠x₂，試求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專(zhuān)題：

分析：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于k的不等式2（k-1）＞4，通過(guò)解不等式即可求得相應(yīng)的k的值；
（2）根據(jù)兩根之和為4，即x₁+x₂=4，和已知條件“x₁≠x₂”分別求得x₁、x₂，然后將其代入x₁•x₂=2（k-1），即可求得k的值．

解答：解：∵關(guān)于x的一元二次方程x²-4x-2（k-1）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
∴△=16-4×[-2（k-1）]≥0，
解得，k≥-1；
（1）不存在這樣的k的值．理由如下：
∵x₁•x₂=-2（k-1），x₁+x₂=4，
∴-2（k-1）＞4，
解得，k＜-1．即不存在這樣的k的值；

（2）∵方程兩根均為正整數(shù)，且x₁≠x₂，x₁+x₂=4，
∴當(dāng)x₁=1時(shí)，x₂=3，則-2（k-1）=3，解得k=-

1

2

；
當(dāng)x₁=3時(shí)，x₂=1，則-2（k-1）=3，解得k=-

1

2

；
綜上所述，k=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式．注意：解答（1）題時(shí)，要根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x²-4x-2（k-1）=0的根的判別式來(lái)確定k的取值范圍．