Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作∠ADE=45°（A，D，E按逆時(shí)針?lè)较颍�．如圖，若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）若點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒時(shí)，設(shè)y=AD²，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求y與t的函數(shù)關(guān)系，并求當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)AE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）如圖，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
又∵∠2+∠ADE=∠1+∠B，即∠2+45°=∠1+45°，
∴∠1=∠2，
∴△ABD∽△DCE；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F．
易求AF=BF=5，則AD²=DF²+AF²．
所以，根據(jù)題意，得到：
y=（5-t）²+50，即y=t²-10t+100（0≤t≤10）．
當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=∠AED=45°時(shí)，得到∠DAE=90°，點(diǎn)D、E分別與B、C重合，則AE=AC=10．
②當(dāng)AD=DE時(shí)，由①知△ABD∽△DCE，
又∵AD=DE，知△ABD≌△DCE．
∴AB=CD=10，∴BD=CE=10-10，
∴AE=AC-CE=20-10．
③當(dāng)AE=DE時(shí)，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
∴DE=AE=AC=5．
綜上所述，當(dāng)AE的長(zhǎng)度為10、20-10、5時(shí)，△ADE是等腰三角形．
分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=45°；由三角形外角的性質(zhì)得到∠2+∠ADE=∠1+∠B，即∠2+45°=∠1+45°，故∠1=∠2；所以由“兩角法”判定這兩個(gè)三角形相似；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)易求AF=BF=5，則AD²=DF²+AF²．把相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入即可求得y與t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，需要分AD=AE、AD=DE、AE=DE三種情況進(jìn)行討論．
點(diǎn)評(píng)：考查相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的轉(zhuǎn)化．分情況討論等腰三角形的可能性．