如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=ax2+bx-3(a,b是常數(shù))的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.動(dòng)直線y=t(t為常數(shù))與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q.
(1)求a和b的值;
(2)求t的取值范圍;
(3)若∠PCQ=90°,求t的值.
(1)將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得:
a+b-3=0
9a-3b-3=0
,
解得:
a=1
b=2


(2)拋物線的解析式為y=x2+2x-3,直線y=t,
聯(lián)立兩解析式可得:x2+2x-3=t,即x2+2x-(3+t)=0,
∵動(dòng)直線y=t(t為常數(shù))與拋物線交于不同的兩點(diǎn),
∴△=4+4(3+t)>0,
解得:t>-4;

(3)∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,
當(dāng)x=0時(shí),y=-3,∴C(0,-3).
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,t),則P(-2-m,t).
如圖,設(shè)PQ與y軸交于點(diǎn)D,則CD=t+3,DQ=m,DP=m+2.

∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°,∠DPC+∠PCD=90°,
∴∠QCD=∠DPC,又∠PDC=∠QDC=90°,
∴△QCD△CPD,
DQ
DC
=
DC
PD
,即
m
t+3
=
t+3
m+2
,
整理得:t2+6t+9=m2+2m,
∵Q(m,t)在拋物線上,∴t=m2+2m-3,∴m2+2m=t+3,
∴t2+6t+9=t+3,化簡(jiǎn)得:t2+5t+6=0
解得t=-2或t=-3,
當(dāng)t=-3時(shí),動(dòng)直線y=t經(jīng)過點(diǎn)C,故不合題意,舍去.
∴t=-2.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

有一個(gè)拋物線形拱橋,其最大高度為16米,跨度為40米,現(xiàn)把它的示意圖放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,則此拋物線的解析式為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(-5,0),且頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為
9
2
,這個(gè)二次函數(shù)的解析式______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=
1
18
x2-
4
9
x-10與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B,過點(diǎn)B作x軸的平行線BC,交拋物線于點(diǎn)C,連接AC.現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從O,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng),點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),線段OC,PQ相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DEOA,交CA于點(diǎn)E,射線QE交x軸于點(diǎn)F.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P,Q移動(dòng)的時(shí)間為t(單位:秒).
(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PQCA為平行四邊形?請(qǐng)寫出計(jì)算過程;
(3)當(dāng)0<t<
9
2
時(shí),△PQF的面積是否總為定值?若是,求出此定值,若不是,請(qǐng)說明理由;
(4)當(dāng)t為何值時(shí),△PQF為等腰三角形?請(qǐng)寫出解答過程.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直角坐標(biāo)系中,以x軸上一點(diǎn)P(1,0)為圓心的圓與x軸、y軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,
3
).
(1)直接寫出A、B、D三點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若拋物線y=x2+bx+c過A、D兩點(diǎn),求這條拋物線的解析式,并判斷點(diǎn)B是否在所求的拋物線上,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2-x-
3
2
與x軸正半軸交于點(diǎn)A(3,0),以O(shè)A為邊在x軸上方作正方形OABC,延長CB交拋物線于點(diǎn)D,再以BD為邊向上作正方形BDEF.
(1)求a的值;
(2)求點(diǎn)F的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,二次函數(shù)y=x2+2mx+m2-4的圖象與x軸的負(fù)半軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在左側(cè)),一次函數(shù)y=2x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)(可用m的代數(shù)式表示);
(2)如果?ABCD的頂點(diǎn)D在上述二次函數(shù)的圖象上,求m的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,矩形ABCD的長AB=5cm,點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),OP⊥AB,兩半圓的直徑分別為AO與OB.拋物線y=ax2經(jīng)過C、D兩點(diǎn),則圖中陰影部分的面積是______cm2

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某商場(chǎng)銷售某種品牌的純牛奶,已知進(jìn)價(jià)為每箱40元,市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元銷售,平均每天可銷售90箱,價(jià)格每降低1元,平均每天多售3箱,價(jià)格每升高1元,平均每天少售3箱.
①寫出平均每天的銷售量y與每箱售價(jià)x之間關(guān)系;
②求出商場(chǎng)平均每天銷售這種牛奶的利潤w與每箱售價(jià)x之間的關(guān)系;
③求在②的情況下當(dāng)牛奶每箱售價(jià)定為多少時(shí)可達(dá)到最大利潤,最大利潤是多少元?

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