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(2008•朝陽區(qū)二模)已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=3AD.
(1)如圖①,連接AC,如果三角形ADC的面積為6,求梯形ABCD的面積;
(2)如圖②,E是腰AB上一點,連接CE,設△BCE和四邊形AECD的面積分別為S1和S2,且2S1=3S2,求的值;
(3)如圖③,AB=CD,如果CE⊥AB于點E,且BE=3AE,求∠B的度數.

【答案】分析:(1)由△ADC與△ABC等高,且BC=3AD,可得△ABC的面積是△ADC面積的三倍,所以可求得△ADC的面積,即可求得梯形ABCD的面積;
(2)可利用面積法求解,因為如果三角形的高相等,則其面積的比等于其底的比,所以可求得AE與BE的比;
(3)首先延長BA與CD,然后根據面積的關系求得△MBC是等邊三角形,即可得∠B為60°.
解答:解:(1)在梯形ABCD中,
∵AD∥BC,又△ADC與△ABC等高,且BC=3AD,
∴S△ABC=3S△ADC
∵S△ADC=6,
∴S梯形ABCD=S△ABC+S△ACD=4S△ADC=24.

(2)方法1:連接AC,如圖①,設△AEC的面積為S3,則△ACD的面積為S2-S3

由(1)和已知可得
解得:S1=4S3

∵△AEC與△BEC等高,

方法2:延長BA、CD相交于點F,如圖②
∵AD∥BC,
∴△FAD∽△FBC,
,
設S△FAD=S3=a,則S△FBC=9a,S1+S2=8a,
又∵2S1=3S2
a,a,S3=a.
∵△EFC與△CEB等高,

設FE=7k,則BE=8k,FB=15k,
∴FA=FB=5k.
∴AE=7k-5k=2k.


(3)延長BA、CD相交于點M.如圖③,
∵AD∥BC,
∴△MAD∽△MBC,

∴MB=3MA.設MA=2x,則MB=6x.
∴AB=4x.
∵BE=3AE,
∴BE=3x,AE=x.
∴BE=EM=3x,E為MB的中點.
又∵CE⊥AB,
∴CB=MC.
又∵MB=MC,
∴△MBC為等邊三角形.
∴∠B=60°.
點評:此題考查了如果三角形的高相等,則面積比等于其底邊的比.解此題的關鍵是準確的作出輔助線與數形結合思想的應用.
練習冊系列答案
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(1)當CA邊落在y軸上(其中旋轉角為銳角)時,一條拋物線經過A、C兩點且與直線AA′相交于x軸下方一點D,如果S△AOD=9,求這條拋物線的解析式;
(2)繼續(xù)旋轉△CA′O′,當以CA′為直徑的⊙P與(1)中拋物線的對稱軸相切時,圓心P是否在拋物線上,請說明理由.

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(2)繼續(xù)旋轉△CA′O′,當以CA′為直徑的⊙P與(1)中拋物線的對稱軸相切時,圓心P是否在拋物線上,請說明理由.

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