(2008•朝陽(yáng)區(qū)二模)如圖,△AOC在平面直角坐標(biāo)系中,∠AOC=90°,且O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上,AO=4,OC=3,將△AOC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后的三角形記為△CA′O′.
(1)當(dāng)CA邊落在y軸上(其中旋轉(zhuǎn)角為銳角)時(shí),一條拋物線經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)且與直線AA′相交于x軸下方一點(diǎn)D,如果S△AOD=9,求這條拋物線的解析式;
(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△CA′O′,當(dāng)以CA′為直徑的⊙P與(1)中拋物線的對(duì)稱軸相切時(shí),圓心P是否在拋物線上,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)已知條件先求出直線AA′的解析式,再求出D點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出拋物線的解析式;
(2)由得對(duì)稱軸為.由⊙P與拋物線的對(duì)稱軸相切,可有兩種情況:情況1:如圖②,過(guò)點(diǎn)P向拋物線的對(duì)稱軸作垂線,交對(duì)稱軸于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F,點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離PE等于⊙P的半徑,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可判斷;情況2:如圖③,過(guò)點(diǎn)P′向拋物線的對(duì)稱軸作垂線,交對(duì)稱軸于點(diǎn)E′,交軸于點(diǎn)F′,求出點(diǎn)P′的坐標(biāo)即可證明;
解答:解:(1)在Rt△AOC中,∵AO=4,OC=3,∴AC=5.
由旋轉(zhuǎn)可知A′C=AC=5.
∴A′O=A′C-OC=2.
∴A(-4,0),C(0,3),A′(0,-2).
可求得直線AA′的解析式為
拋物線與直線AA′交于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)D(x,y),
∵S△AOD=9,
.解得
代入,得x=5.
∴D(5,).
∵拋物線過(guò)A、C、D三點(diǎn),
∴可求得拋物線的解析式為;

(2)由得對(duì)稱軸為
∵⊙P與拋物線的對(duì)稱軸相切,可有兩種情況:
情況1:如圖②,過(guò)點(diǎn)P向拋物線的對(duì)稱軸作垂線,交對(duì)稱軸于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F,點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離PE等于⊙P的半徑,
即PE=,PF=2.CF=
∴FO=CO-CF=
∴P(2,).
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足,
∴點(diǎn)P在拋物線上.

情況2:如圖③,過(guò)點(diǎn)P′向拋物線的對(duì)稱軸作垂線,交對(duì)稱軸于點(diǎn)E′,交軸于點(diǎn)F'.
同理可求得點(diǎn)
∵點(diǎn)P'坐標(biāo)不滿足拋物線,
∴此點(diǎn)P′不在拋物線上.

點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)綜合題,難度較大,關(guān)鍵是注意由⊙P與拋物線的對(duì)稱軸相切,可有兩種情況,需要分情況討論.
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(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△CA′O′,當(dāng)以CA′為直徑的⊙P與(1)中拋物線的對(duì)稱軸相切時(shí),圓心P是否在拋物線上,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△CA′O′,當(dāng)以CA′為直徑的⊙P與(1)中拋物線的對(duì)稱軸相切時(shí),圓心P是否在拋物線上,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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