精英家教網(wǎng)如圖,在第一象限內(nèi)作與x軸的夾角為30°的射線OC,在射線OC上取點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H,在拋物線y=x2(x>0)上取一點(diǎn)P,在y軸上取一點(diǎn)Q,使得P,O,Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等,則符合條件的點(diǎn)A有
 
個.
分析:此題應(yīng)分四種情況考慮:
①∠POQ=∠OAH=60°,此時A、P重合,可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式,即可得A點(diǎn)坐標(biāo);
②∠POQ=∠AOH=30°,此時∠POH=60°,即直線OP:y=
3
x,聯(lián)立拋物線的解析式可得P點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可求出OQ、PQ的長,由于△POQ≌△AOH,那么OH=OQ、AH=PQ,由此得到點(diǎn)A的坐標(biāo).
③當(dāng)∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=30°時,此時△QOP≌△AOH;
④當(dāng)∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=60°,此時△OQP≌△AOH;
解答:解:①當(dāng)∠POQ=∠OAH=60°,若以P,O,Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等,那么A、P重合;
由于∠AOH=30°,設(shè)A坐標(biāo)為(a,b),
在直角三角形OAH中,tan∠AOH=tan30°=
3
3
=
b
a
,
設(shè)直線OA的方程為y=kx,把A的坐標(biāo)代入得k=
b
a
=
3
3

所以直線OA:y=
3
3
x,聯(lián)立拋物線的解析式,
得:
y=
3
3
x
y=x2
,
解得
x=0
y=0
x=
3
3
y=
1
3

故A(
3
3
1
3
);
②當(dāng)∠POQ=∠AOH=30°,此時△POQ≌△AOH;
易知∠POH=60°,則直線OP:y=
3
x,聯(lián)立拋物線的解析式,
得:
y=
3
x
y=x2

解得
x=0
y=0
,
x=
3
y=3
;
故P(
3
,3),那么A(3,
3
);
③當(dāng)∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=30°時,此時△QOP≌△AOH;
易知∠POH=60°,則直線OP:y=
3
x,聯(lián)立拋物線的解析式,
得:
y=
3
x
y=x2

解得
x=0
y=0
x=
3
y=3
,
故P(
3
,3),
∴OP=2
3
,QP=2,
∴OH=OP=2
3
,AH=QP=2,
故A(2
3
,2);
④當(dāng)∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=60°,此時△OQP≌△AOH;
此時直線OP:y=
3
3
x,聯(lián)立拋物線的解析式,
得:
y=
3
3
x
y=x2
,
解得
x=0
y=0
、
x=
3
3
y=
1
3
,
∴P(
3
3
,
1
3
),
∴QP=
2
3
3
,OP=
2
3
,
∴OH=QPQP=
2
3
3
,AH=OP=
2
3

故A(
2
3
3
,
2
3
).
綜上可知:符合條件的點(diǎn)A有四個,且坐標(biāo)為:(
3
3
,
1
3
)或(3,
3
)或(2
3
,2)或(
2
3
3
2
3
).
故答案為:4.
點(diǎn)評:此題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法;由于全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)不明確,因此要注意分類討論思想的運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在第一象限內(nèi)作射線OC,與x軸的夾角為30°,在射線OC上取一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H.在拋物線y=x2(x>0)上取點(diǎn)P,在y軸上取點(diǎn)Q,使得以P,O,Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等,則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在第一象限內(nèi)作射線OC,與x軸的夾角為30°,在射線OC上取一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H,得到△AOH.在拋物線y=x2(x>0)上取點(diǎn)P,在y軸上取點(diǎn)Q,使得以P,O,Q為頂點(diǎn)的三角形△POQ與△AOH全等,則符合條件的△AOH的面積是
3
2
3
,2
3
1
18
3
,
2
9
3
3
2
3
,2
3
1
18
3
2
9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在第一象限內(nèi)作射線OC,與x軸的夾角為30°,在射線OC上取點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H.在拋物線y=x2(x>0)上取點(diǎn)P,在y軸上取點(diǎn)Q,使得以P,O,Q為頂點(diǎn),且以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的三角形與△AOH全等,則符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)是
(3,
3
),(
1
3
3
,
1
3
(3,
3
),(
1
3
3
1
3

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