Question

已知二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)是（-1，2），且過(guò)（0，

2

3

）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，點(diǎn)M（m，-m²）都不在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=a（x+1）²+2，把（0，

2

3

）代入求出a即可．
（2）把點(diǎn)M的左邊代入函數(shù)的解析式，看看是否兩邊相等即可．

解答：（1）解：∵二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)是（-1，2），
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=a（x+1）²+2，
把（0，

2

3

）代入得：

2

3

=a（0+1）²+2，
a=-

4

3

，
∴二次函數(shù)的解析式是y=-

4

3

（x+1）²+2，即y=-

4

3

x²-

8

3

x+

2

3

．

（2）證明：∵把M（m，-m²）代入y=-

4

3

（x+1）²+2得：左邊=-m²，右邊=-

4

3

（m+1）²+2=-

4

3

m²-

8

3

m+

2

3

，
∴左邊≠右邊，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m，點(diǎn)M（m，-m²）都不在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的解析式．