Question

在?ABCD中，過點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于點(diǎn)E，將線段EC繞點(diǎn)E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF．如圖所示．
（1）在圖中畫圖探究：
①當(dāng)p₁為線段CD延長線上任意一點(diǎn)時，連接．EP₁，將線段EP₁繞點(diǎn)E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG₁判斷直線FG₁與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；（在圖1中畫）
②當(dāng)P₂為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)時，連接EP₂，將線EP₂繞點(diǎn)E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG₂．判斷直線FG₂與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論．（在圖2中畫）
（2）在①的條件下，連接FP₁、P₁G₁，若EP₁=8，AD=6，AE=1，AB：CE=3：4，求△P₁G₁F的面積．

Answer 1

分析：（1）①△P₁EC按要求旋轉(zhuǎn)后得到的△G₁EF全等，再結(jié)合∠P₁CE=∠G₁FE=90°得出結(jié)論；
②按照要求畫出圖形，由圖形即可得出答案；
（2）求三角形的面積的關(guān)鍵是確定三角形的底與高，結(jié)合已知可得CE=4，且由四邊形FECH是正方形，并利用勾股定理CP₁的長是難點(diǎn)，求出后求底與高就比較簡單，通過線段可以代換出來．從而求出三角形的面積．

解答：解：（1）①直線FG₁與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直．
證明：如圖1，設(shè)直線FG₁與直線CD的交點(diǎn)為H．
∵線段EC、EP₁分別繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°依次得到線段EF、EG₁，
∴∠P₁EG₁=∠CEF=90°，EG₁=EP₁，EF=EC．
∵∠G₁EF=90°-∠P₁EF，∠P₁EC=90°-∠P₁EF，
∴∠G₁EF=∠P₁EC．
∴△G₁EF≌△P₁EC．
∴∠G₁FE=∠P₁CE．
∵EC⊥CD，
∴∠P₁CE=90°，
∴∠G₁FE=90度．
∴∠EFH=90度．
∴∠FHC=90度．
∴FG₁⊥CD．
②按題目要求所畫圖形見圖1，直線G₁G₂與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴∠B=∠ADC
∵AD=6，AE=1，AB：CE=3：4，
∴DE=5，CD：CE=3：4
可得CE=4
由（1）可得四邊形FECH是正方形
∴CH=CE=4
∵（1）①如圖2，P₁在線段CH的延長線上，
∵FG₁=CP₁
∴S_△P1FG1=

1

2

×FG₁•P₁H
在Rt△ECP₁中，EP₁=8，由勾股定理得
CP₁=FG₁=4

3

∴P₁H=4

3

-4
∴S_△P1FG1=

1

2

×4

3

× (4

3

-4)=24-8

3

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的運(yùn)用等多個知識點(diǎn)．