如圖,在□ABCD中,過點(diǎn)C作CE⊥CD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,點(diǎn)P為直線CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合).
(1)在圖1中畫圖探究:
當(dāng)點(diǎn)P在CD延長線上時(shí),連結(jié)EP并把EP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EQ.作直線QF交直線CD于H,求證:QF⊥CD.
(2)探究:結(jié)合(1)中的畫圖步驟,分析線段QH、PH與CE之間是否存在一種特定的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)?jiān)谙旅娴目崭裰袑懗瞿愕慕Y(jié)論;若存在,直接填寫這個(gè)關(guān)系式.
①當(dāng)點(diǎn)P在CD延長線上且位于H點(diǎn)右邊時(shí),
QH-PH=2CE
QH-PH=2CE
;
②當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí),
QH+PH=2CE
QH+PH=2CE

(3)若AD=2AB=6,AE=1,連接DF,過P、F兩點(diǎn)作⊙M,使⊙M同時(shí)與直線CD、DF相切,求⊙M的半徑是多少?
分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PE=QE,EF=ED,然后根據(jù)同角的余角相等求出∠PEC=∠QEF,再利用“邊角邊”證明△PEC和△QEF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠QFE=∠PCE,再求出EF∥CD,然后根據(jù)兩直線平行,同位角相等求出∠QHC=90°,從而得證;
(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得QF=PC,再證明得到四邊形EFHC是正方形,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CH=FH=CE,然后分點(diǎn)P在CD延長線上和邊CD上兩種情況饒了求解;
(3)求出DE的長,再利用勾股定理列式求出EC,然后求出DH,再次利用勾股定理列式求出FD,過點(diǎn)M作MN⊥FH于N,可得四邊形PMNH是矩形,設(shè)⊙M的半徑是r,然后分①點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí),在Rt△MNF中,表示出FN、MN,利用勾股定理列出方程求解即可;②點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí),在Rt△MNF中,表示出FN、MN,利用勾股定理列出方程求解即可.
解答:解:(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,PE=QE,EF=ED,
∵∠QEF+∠FEP=∠PEQ=90°,
∠PEC+∠FEP=∠CEF=90°,
∴∠PEC=∠QEF,
在△PEC和△QEF中,
PE=QE
∠PEC=∠QEF
EF=ED
,
∴△PEC≌△QEF(SAS),
∴∠QFE=∠PCE=90°,
∵∠FEC+∠PCE=90°+90°=180°,
∴EF∥CD,
∴∠QHC=∠QFE=90°,
∴QF⊥CD;

(2)∵△PEC≌△QEF,
∴QF=PC,
∵∠PCE=∠CEF=∠QHC=90°,CE=EF,
∴四邊形EFHC是正方形,
∴CH=FH=CE,
①如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在CD延長線上且位于H點(diǎn)右邊時(shí),QH=QF+FH=PC+FH=PH+CH+FH=PH+2CE,
∴QH-PH=2CE;
②如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí),QH=QF+FH=PC+FH=CH-PH+FH=2CE-PH,
∴QF+PH=2CE;

(3)∵AD=6,AE=1,
∴DE=5,
在Rt△CDE中,CE=
DE2-CD2
=
52-32
=4,
∴DH=CH-CD=CE-CD=4-3=1,
在Rt△DFH中,F(xiàn)D=
FH2+DH2
=
42+12
=
17
,
如圖,過點(diǎn)M作MN⊥FH于N,
則四邊形PMNH是矩形,
∵⊙M同時(shí)與直線CD、DF相切,
∴DP=FD=
17
,
設(shè)⊙M的半徑是r,
①點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí),在Rt△MNF中,F(xiàn)N=4-r,MN=
17
-1,
由勾股定理得,F(xiàn)N2+MN2=MF2
即(4-r)2+(
17
-1)2=r2,
解得r=
17-
17
4
,
②點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí),在Rt△MNF中,F(xiàn)N=r-4,MN=
17
+1,
由勾股定理得,F(xiàn)N2+MN2=MF2,
即(r-4)2+(
17
+1)2=r2
解得r=
17+
17
4
,
綜上所述,⊙M的半徑是
17-
17
4
17+
17
4
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行四邊形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),切線長定理,(3)難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和矩形.
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