Question

三角形的一個(gè)內(nèi)角為30°，有兩邊分別為3，4．這樣的三角形有幾個(gè)？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形邊角關(guān)系

專題：分類討論

分析：由于符合要求的三角形不唯一，需分情況討論．可按30°角的對(duì)邊的長度進(jìn)行分類：①若30°角的對(duì)邊的長度既不是3又不是4，②若30°角的對(duì)邊的長度是3，③若30°角的對(duì)邊的長度是4．結(jié)合畫圖就可解決問題．

解答：解：符合條件的三角形共有四個(gè)．
理由如下：
①若30°角的對(duì)邊的長度既不是3又不是4，
作∠MAN=30°，在AM上取一點(diǎn)B使得AB=4，在AN上取一點(diǎn)C使得AC=3，連接BC，如圖1．

由SAS可得這樣的三角形只有一個(gè)．
②若30°角的對(duì)邊的長度是3，
作∠MAN=30°，在AM上取一點(diǎn)B使得AB=4，過點(diǎn)B作BH⊥AN于H，
∵∠A=30°，AB=4，∠AHB=90°，
∴BH=

1

2

AB=2＜3，BA＞3．
∴以點(diǎn)B為圓心，3為半徑畫弧，必與射線AN有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為C，連接BC，如圖2和圖3．

可見這樣的三角形有兩個(gè)．
③若30°角的對(duì)邊的長度是4，
作∠MAN=30°，在AN上取一點(diǎn)C使得AC=3，
∵CA＜4，
∴以點(diǎn)C為圓心，4為半徑畫弧，與射線AM只有一個(gè)交點(diǎn)B，連接BC，如圖4．

可見這樣的三角形只有一個(gè)．
綜上所述：符合條件的三角形共有四個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的邊角關(guān)系、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、直線與圓的位置關(guān)系、全等三角形的判定（SAS）等知識(shí)，考查了動(dòng)手操作的能力，還考查了分類討論的思想，而選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)是解決本題的關(guān)鍵．