Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點E在邊AD上，連接CE，以CE為邊向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足為H，連接AF．

(1)求證：FH=ED；

(2)當AE為何值時，△AEF的面積最大？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE=2.

【解析】

(1)根據正方形的性質，可得EF=CE，再根據∠CEF=∠90°，進而可得∠FEH=∠DCE，結合已知條件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可證明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性質可得FH=ED；

(2)設AE=a，用含a的函數表示△AEF的面積，再利用函數的最值求面積最大值即可．

(1)證明：

∵四邊形CEFG是正方形，

∴CE=EF，

∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，

∴∠FEH=∠DCE，

在△FEH和△ECD中

，

∴△FEH≌△ECD，

∴FH=ED；

(2)設AE=a，則ED=FH=4a，

∴S =AEFH=a(4a)，

= (a2) +2，

∴當AE=2時，△AEF的面積最大．