(2013•菏澤)已知:關(guān)于x的一元二次方程kx2-(4k+1)x+3k+3=0 (k是整數(shù)).
(1)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2(其中x1<x2),設(shè)y=x2-x1-2,判斷y是否為變量k的函數(shù)?如果是,請寫出函數(shù)解析式;若不是,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)一元二次方程的定義得到k≠0,再計(jì)算出判別式得到△=(2k-1)2,根據(jù)k為整數(shù)和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△>0,則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=
4k+1
k
,x1•x2=
3k+3
k
,則根據(jù)完全平方公式變形得
(x1-x22=(x1+x22-4x1•x2=
(4k+1)2
k2
-
12k+12
k
=
(2k-1)2
k2
=(2-
1
k
2
由于k為整數(shù),則2-
1
k
>0,所以x2-x1=2-
1
k
,則y=2-
1
k
-2=-
1
k
解答:(1)證明:根據(jù)題意得k≠0,
∵△=(4k+1)2-4k(3k+3)=4k2-4k+1=(2k-1)2,
而k為整數(shù),
∴2k-1≠0,
∴(2k-1)2>0,即△>0,
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)解:y是變量k的函數(shù).
∵x1+x2=
4k+1
k
,x1•x2=
3k+3
k
,
∴(x1-x22=(x1+x22-4x1•x2=
(4k+1)2
k2
-
12k+12
k
=
(2k-1)2
k2
=(2-
1
k
2,
∵k為整數(shù),
∴2-
1
k
>0,
而x1<x2,
∴x2-x1=2-
1
k
,
∴y=2-
1
k
-2
=-
1
k
(k≠0的整數(shù)),
∴y是變量k的函數(shù).
點(diǎn)評:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系:若方程的兩根為x1,x2,則x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a
.也考查了一元二次方程的根的判別式.
練習(xí)冊系列答案
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2
(或介于
2
3
之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù))
2
(或介于
2
3
之間的任意兩個(gè)實(shí)數(shù))
(寫出1個(gè)即可).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•菏澤)(1)已知m是方程x2-x-2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根,求代數(shù)式(m2-m)(m-
2
m
+1)
的值.
(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象交于A、B兩點(diǎn).
①根據(jù)圖象求k的值;
②點(diǎn)P在y軸上,且滿足以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,試寫出點(diǎn)P所有可能的坐標(biāo).

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