Question

閱讀下面的題目及分析過程，再回答問題．
設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，且x+y=6，求

x2+1

+

y2+4

的最小值．分析：（1）如圖（1），作長為6的線段AB，過A、B兩點(diǎn)在同側(cè)各做AC⊥AB，BD⊥AB，使AC=1，BD=2．
（2）設(shè)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．設(shè)PA=x，PB=y，則x+y=6，連接PC、PD，則PC=

x2+1

，PD=

y2+4

（3）只要在AB上找到使PC+PD為最小的點(diǎn)P的位置，就可以計(jì)算出

x2+1

+

y2+4

的最小值．問題：①在圖（2）中作出符合上述要求的點(diǎn)．
②求AP的長？
③通過上述作圖，計(jì)算當(dāng)x+y=6時(shí)，

x2+1

+

y2+4

的最小值為

 

．
解決問題：
為了豐富學(xué)生的課余生活，石家莊外國語學(xué)校決定舉辦一次機(jī)器人投籃大賽．規(guī)則是：操縱者站在距線段AB 2米的C處，如圖（3）使機(jī)器人從A點(diǎn)出發(fā)，到C處取到籃球，然后行駛到B處，將籃球投入設(shè)在B處的籃筐內(nèi)，用時(shí)少的即為勝利者，為了獲得勝利，請(qǐng)你畫出C的最佳位置；并求當(dāng)AB=3米時(shí)機(jī)器人行駛的最短路程？

Answer 1

分析：①找出點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D于AB交于點(diǎn)P，即為PC+PD為最小時(shí)所求的點(diǎn)的位置；
②根據(jù)對(duì)稱，利用“SAS”證明△CAP≌△C′AP，得到∠APC′=∠APC，再根據(jù)對(duì)頂角相等和等量代換得到∠APC=∠CPB，又根據(jù)∠CAP=∠B=90°，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△APC∽△BPC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AP的長；
③根據(jù)題中的分析和作圖可知：當(dāng)x+y=6時(shí)，

x2+1

+

y2+4

的最小值為線段C′D的長，所以延長DB，過C′作C′E⊥DE，得到△DC′E為直角三角形，由CC′和C′E，根據(jù)勾股定理即可求出C′D的長；
解決問題：
作出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)C，故點(diǎn)C為所求的最佳位置，由作圖可知AA′的長，又AB的長，根據(jù)勾股定理即可求出A′B的長，求出AC+CB的最短距離，即為機(jī)器人走的最短距離．

解答：解：①延長線段CA，在延長線上截取AC′=AC，連接C′D于AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，
此時(shí)CP+PD最短，∴點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)；

②∵AC=AC′，∠CAP=∠C′AP=90°，AP=AP，
∴△CAP≌△C′AP，
∵∠APC′=∠APC，又∠APC′=∠DPB，
∴∠APC=∠DPB，又∠CAP=∠B=90°，
∴△APC∽△BPD，
∴

AC

BD

=

AP

BP

，即

AP

6-AP

=

1

2

，
解得：AP=2；

③根據(jù)題意可知：

x2+1

+

y2+4

的最小值為線段C′D的長，
延長DB，過C′作C′E⊥BD，垂足為點(diǎn)E，
則AC=AC′=BE=1，故DE=3，又C′E=x+y=6，
在直角三角形DC′E中，根據(jù)勾股定理得：C′D=

62+32

=3

5

，
∴當(dāng)x+y=6時(shí)，

x2+1

+

y2+4

的最小值為3

5

；
解決問題：
根據(jù)題意，畫圖形如下：
過點(diǎn)A作直線l的垂線，以垂足為圓心，在直線l的上方找出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′，
連接A′B與直線l交于點(diǎn)C，此時(shí)AC=AC′，故AC+CB最短，∴點(diǎn)C為所求作的點(diǎn)，
由對(duì)稱可知AA′=4，又AB=3，
在直角三角形A′AB中，根據(jù)勾股定理得：AC+CB=A′C+CB=A′B=

42+32

=5米，
則機(jī)器人行駛的最短距離為5米．
故答案為：3

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了對(duì)稱知識(shí)，三角形相似的判斷與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及作圖的方法．作圖時(shí)得到的最短距離的原因是兩點(diǎn)之間線段最短．